Enhanced input stacking for non-square MIMO modal identification of aeronautical structures via Fast and Relaxed Vector Fitting

Resumen Técnico: Apilamiento de Entradas Mejorado para la Identificación Modal MIMO No Cuadrada de Estructuras Aeronáuticas mediante Ajuste Vectorial Rápido y Relajado

Enunciado del Problema
La identificación precisa de los parámetros modales estructurales (frecuencias naturales, relaciones de amortiguamiento y formas modales) es crítica para la certificación de aeronaves, la actualización de modelos de elementos finitos y la predicción de estabilidad aeroelástica. Si bien las Pruebas de Vibración en Tierra (GVT) proporcionan los datos experimentales necesarios, las estructuras aeroespaciales modernas a menudo requieren marcos de Entrada Múltiple y Salida Múltiple (MIMO) para capturar modos de vibración acoplados y de espaciado estrecho.

Existe una limitación significativa al aplicar el algoritmo de Ajuste Vectorial Rápido y Relajado (FRVF), un método de identificación de sistemas en el dominio de la frecuencia computacionalmente eficiente desarrollado originalmente para redes eléctricas, a sistemas mecánicos. Las implementaciones estándar de FRVF asumen matrices cuadradas de Función de Respuesta en Frecuencia (FRF), donde el número de canales de entrada es igual al número de canales de salida. Sin embargo, en el análisis modal experimental de aeronaves, el número de canales de respuesta medidos (sensores) típicamente excede con creces el número de ubicaciones de excitación (actuadores), resultando en matrices de FRF no cuadradas. Esta discrepancia impide la aplicación directa de las formulaciones existentes de FRVF a escenarios realistas de GVT.

Metodología
Los autores proponen una reformulación de FRVF para acomodar configuraciones MIMO no cuadradas mediante una estrategia de apilamiento de entradas mejorada. La metodología procede en tres etapas:

1. Apilamiento de Entradas Mejorado: La innovación central implica remodelar el tensor tridimensional de FRF ($N_{salida} \times N_{entrada} \times N_{frecuencia}$) en una matriz bidimensional compatible con FRVF. En lugar del apilamiento triangular superior convencional utilizado para sistemas cuadrados, el algoritmo propuesto realiza una superposición por frecuencia de los canales de entrada. Para cada canal de salida, las FRF de todos los canales de entrada se suman.
   • Base Teórica: Basado en el principio de superposición modal para sistemas lineales e invariantes en el tiempo, esta suma crea una FRF efectiva impulsada por una excitación virtual coherente. Si bien esto repondera los residuos, preserva los polos del sistema (frecuencias naturales y relaciones de amortiguamiento) y mantiene las proporciones espaciales de las formas modales, mejorando así la relación señal-ruido (SNR) para modos débilmente excitados sin alterar la correlación física entre entradas y salidas.
2. Identificación del Sistema: Las FRF apiladas se procesan utilizando el algoritmo FRVF. Esto implica una aproximación racional iterativa mediante estimación de residuos basada en QR, ponderación inversa débil de magnitud para manejar el ruido y estabilización eficiente de polos.
3. Extracción de Parámetros: Los parámetros modales se extraen del modelo racional resultante utilizando diagramas de estabilización. Los polos candidatos se seleccionan basándose en la estabilidad de frecuencia (variación <1 Hz), consistencia de amortiguamiento (variación <0.05) y correlación de formas modales (Criterio de Garantía Modal > 0.95).

Contribuciones Clave

• Generalización de FRVF: El trabajo extiende el algoritmo FRVF desde sistemas cuadrados hasta sistemas MIMO no cuadrados arbitrarios, abordando una brecha crítica en la aplicación de técnicas de modelado de redes eléctricas a la dinámica estructural.
• Algoritmo de Apilamiento de Entradas: La introducción de un procedimiento de apilamiento específico (Algoritmo 1) que permite la agregación de múltiples contribuciones de excitación, mejorando la observabilidad de modos sin requerir suposiciones de reciprocidad o sensores/actuadores colocalizados.
• Marco de Validación: La metodología se valida mediante simulaciones numéricas en una viga en voladizo y pruebas experimentales en una aeronave a escala completa.

Resultados

• Validación Numérica (Viga en Voladizo):
  • El método identificó con éxito las 10 modos de una viga simulada con errores de frecuencia despreciables (<0.1%) y correlación perfecta de formas modales (MAC = 1) en condiciones libres de ruido.
  • Robustez al Ruido: Bajo ruido gaussiano blanco aditivo (AWGN) de hasta el 1%, el método mantuvo una alta precisión. Incluso con niveles de ruido del 3–5%, las frecuencias naturales permanecieron precisas (errores <0.9%) y las formas modales altamente correlacionadas (MAC ≥ 0.99), aunque las estimaciones de la relación de amortiguamiento para modos superiores mostraron un aumento del error (hasta el 40%).
• Validación Experimental (BAE Systems Hawk T1A):
  • El método se aplicó a datos de GVT de un jet entrenador Hawk T1A (5 entradas, 91 salidas) dentro de un ancho de banda de 5–165 Hz.
  • Comparación con iLF y LSCE: FRVF identificó 27 de los 32 modos reportados por el Marco de Loewner Mejorado (iLF), con desviaciones de frecuencia generalmente dentro del 1%. En contraste, el método de Exponencial Completa de Mínimos Cuadrados (LSCE) identificó solo cuatro modos con desviaciones significativas tanto en frecuencia como en amortiguamiento.
  • Formas Modales: La inspección visual y los valores de MAC confirmaron que FRVF recuperó formas modales físicamente significativas, particularmente para los modos inferiores y bien separados. El rendimiento degradó ligeramente para modos por encima de 40 Hz debido al aumento de la densidad modal y la reducida observabilidad, consistente con las limitaciones de la inicialización de polos equidistantes en bandas congestionadas.

Significado y Afirmaciones
El artículo afirma que la formulación MIMO extendida de FRVF, acoplada con un apilamiento de entradas mejorado, ofrece un enfoque confiable, preciso y tolerante al ruido para el análisis modal de estructuras aeronáuticas. Los autores afirman que este enfoque:

• Supera la restricción de sistemas cuadrados de FRVF estándar, haciéndolo adecuado para campañas realistas de GVT de aeronaves donde los sensores superan en número a los actuadores.
• Demuestra un rendimiento comparable a métodos de banda ancha establecidos como el iLF, mientras supera a las técnicas clásicas de dominio temporal como LSCE en entornos MIMO complejos.
• Proporciona una alternativa computacionalmente eficiente para la identificación de la dinámica estructural, adecuada para aplicaciones que requieren alta robustez frente al ruido de medición.

Los autores concluyen que, si bien el método es altamente efectivo, el trabajo futuro podría centrarse en criterios automatizados de selección de modos y colocación dinámica de polos iniciales para mejorar aún más la convergencia en bandas de frecuencia altamente congestionadas.