Evaporating Black Hole Interior and Complexity Evolution

Resumen Técnico: Interior de Agujero Negro en Evaporación y Evolución de la Complejidad

Planteamiento del Problema
El artículo investiga la evolución del volumen interior de un agujero negro en evaporación, explorando específicamente si los observables geométricos detrás del horizonte exhiben desviaciones significativas de la geometría del espacio-tiempo clásico, similares a la evolución no trivial observada en las medidas de entrelazamiento (por ejemplo, la curva de Page). Mientras que la gravedad semiclásica y los gusanos de réplica han explicado con éxito la evolución unitaria de la entropía de la radiación, sigue sin estar claro cómo estos efectos no perturbativos se manifiestan en observables no relacionados con el entrelazamiento, como el volumen interior o la complejidad cuántica. Los autores abordan esto estudiando un modelo sencillo de juguete de un agujero negro en evaporación dentro de la gravedad de Jackiw-Teitelboim (JT) bidimensional acoplada a una brana de fin del mundo (EoW).

Metodología
Los autores emplean un modelo donde el interior del agujero negro está representado por una brana EoW detrás del horizonte. La evaporación se modela entrelazando los estados internos de la brana con un sistema auxiliar de radiación $R$. El estado del sistema combinado viene dado por un estado máximamente entrelazado entre los estados de la brana/agujero negro $|\psi_i\rangle_B$ y los estados de la radiación $|i\rangle_R$, donde la dimensión del espacio de Hilbert de la radiación, $k$, crece con el tiempo ($k(t) = e^{S_{\text{rad}}(t)}$).

Para sondear el interior, los autores definen una longitud geodésica $L$ que conecta el límite asintótico de AdS con la brana EoW. Esta longitud se extrae de la derivada renormalizada de una función de dos puntos de un campo de prueba con dimensión conforme $\Delta$ desde el límite hasta la brana, en el límite $\Delta \to 0$. Esta longitud se interpreta como una medida de la complejidad del subsistema del agujero negro.

El cálculo se basa en un promedio de desorden congelado sobre los acoplamientos aleatorios que especifican los estados de la brana y el Hamiltoniano aleatorio del modelo matricial dual. Esto requiere el uso del truco de réplica para calcular la energía libre promediada sobre el conjunto. El cálculo incluye dos contribuciones gravitacionales no perturbativas distintas:

1. Gusanos de espacio-tiempo: Que surgen de la expansión de género de la integral de camino de la gravedad JT pura.
2. Gusanos de réplica: Que surgen del promedio sobre el conjunto de los datos de la brana, los cuales codifican las correlaciones responsables de la transición de Page.

Los autores realizan el cálculo tanto en el conjunto microcanónico como en el canónico, utilizando la densidad espectral de la gravedad JT y las propiedades de los polinomios de Bell completos para sumar sobre las topologías de las geometrías de réplica.

Contribuciones y Resultados Clave

1. Evolución de la Complejidad en el Caso de Evaporación:
   A diferencia de los agujeros negros que no se evaporan, donde la complejidad crece linealmente y luego se estabiliza en una escala de tiempo $\sim O(e^{S_{BH}})$, la complejidad promediada sobre el conjunto del agujero negro en evaporación exhibe un comportamiento cualitativamente diferente:

   • Tempos Tempranos ($t \ll t_{\text{Page}}$): La complejidad crece linealmente.
   • Tiempo de Page ($t \sim t_{\text{Page}}$): La complejidad alcanza un máximo.
   • Tempos Tardíos ($t > t_{\text{Page}}$): La complejidad decae exponencialmente.

   Los autores derivan una fórmula explícita para la longitud geodésica renormalizada (complejidad) en el conjunto canónico:
   $$C(t) = \frac{2\pi}{\beta} t \frac{e^{2S_{BH}(\beta)}}{(k(t) + e^{S_{BH}(\beta)})^2}$$
   Este resultado muestra que la tasa de crecimiento se suprime a medida que aumenta la dimensión del espacio de Hilbert de la radiación $k(t)$. El cambio de tendencia ocurre paramétricamente cerca del tiempo de Page, definido por la condición donde la entropía del agujero negro es igual a la entropía de la radiación ($S_{BH} \approx S_{\text{rad}}$).

2. Rol de los Gusanos de Réplica y el Núcleo $I(n)$:
   Un resultado técnico central es la identificación de un nuevo núcleo, $I(n)$, en la integral de energía que determina la longitud geodésica. Este núcleo surge de sumar sobre todas las particiones ponderadas de las geometrías de réplica en componentes conectados y desconectados. En el conjunto microcanónico, se demuestra que $I'(0)$ es el valor esperado de la función $f(X) = X/(X+1)^2$ para una variable aleatoria $X$ distribuida de Poisson con media $a = e^{S_{BH}}/k$. El comportamiento no monótono de esta función, que alcanza su pico cuando $S_{BH} \approx S_{\text{rad}}$, impulsa el cambio de tendencia en la complejidad.

3. Fluctuaciones y Pérdida de Auto-promediación:
   Los autores calculan la varianza de la longitud interior. Encuentran que:

   • Antes del Tiempo de Page: Las fluctuaciones relativas son paramétricamente pequeñas ($\sigma/\langle L \rangle \sim \langle L \rangle^{-1/2}$), lo que significa que el promedio del conjunto representa fielmente las realizaciones típicas.
   • Después del Tiempo de Page: A medida que la complejidad media decae exponencialmente, las fluctuaciones relativas crecen hasta el orden uno y eventualmente se vuelven grandes. Esto señala una pérdida de auto-promediación. El promedio del conjunto a tiempos tardíos está dominado por configuraciones raras (específicamente, valores exponencialmente raros de la variable de Poisson $X$) en lugar de realizaciones típicas.

Significado
El artículo afirma que los mismos efectos gravitacionales no perturbativos (gusanos de réplica) que restauran la unitariedad y producen la curva de Page para la entropía de entrelazamiento también dejan una huella nítida y observable en cantidades geométricas que sondean el interior del agujero negro. Específicamente, el volumen interior (interpretado como complejidad) no continúa creciendo indefinidamente, sino que experimenta un cambio de tendencia y decae a medida que el subsistema del agujero negro se vuelve cada vez más mezclado.

Los resultados sugieren que la disminución "suave" de la complejidad después del tiempo de Page es una firma del hecho de que la cuña de entrelazamiento del agujero negro no cambia abruptamente. Además, la pérdida de auto-promediación a tiempos tardíos indica que la descripción promediada sobre el conjunto está dominada por configuraciones raras, una característica que podría tener implicaciones para comprender la tipicidad del interior del agujero negro en el contexto de la paradoja de la información. Los autores señalan que estos hallazgos son consistentes con conjeturas recientes sobre la complejidad del subsistema en sistemas bipartitos y proporcionan una realización gravitacional concreta de estas ideas.