Short Salem polynomials

Resumen Técnico: Polinomios de Salem Cortos

Enunciado del Problema
El artículo aborda la clasificación de los polinomios de Salem basándose en su "longitud", definida como la suma de los valores absolutos de sus coeficientes. Un número de Salem $\tau > 1$ es un entero algebraico real cuyas conjugadas de Galois (excluyendo $\tau$) tienen módulo a lo sumo 1, con al menos una teniendo módulo exactamente 1. Un polinomio de Salem es el polinomio mínimo de un número de Salem, potencialmente multiplicado por polinomios ciclotómicos. Los autores se centran en polinomios de longitud corta, específicamente longitud 5 y longitud 6. Si bien está establecido que los polinomios enteros recíprocos mónicos de longitud $\le 4$ son ciclotómicos, la longitud mínima para un polinomio de Salem es 5. El artículo busca proporcionar una enumeración completa de los polinomios de Salem de longitud 5 y una clasificación estructural de aquellos de longitud 6.

Metodología
Los autores emplean una combinación de teoría de números analítica, manipulación algebraica y algoritmos de búsqueda computacional:

1. Límites Analíticos e Intercalación: Para la longitud 5, los autores analizan la función $s(\theta)$ derivada del polinomio evaluado en el círculo unitario ($z = e^{i\theta}$). Utilizan el Lema 2.1 respecto a la intercalación de los ceros de $f(\theta)$ y $f'(\theta)$ para acotar el número de soluciones de $s(\theta)=1$. Esto les permite demostrar que, para grados suficientemente grandes, el polinomio no puede satisfacer las condiciones para ser un polinomio de Salem, restringiendo así la búsqueda a un conjunto finito de parámetros.
2. Construcción de Salem y Secuencias de Pisot: Para la longitud 6, el artículo se basa en el método de Salem de construir secuencias de números de Salem que convergen a números de Pisot. Específicamente, para un polinomio de Pisot irreducible $P(z)$ y $\epsilon \in \{-1, 1\}$, se analiza la secuencia $P_n(z) = z^n P(z) + \epsilon P^*(z)$. La Proposición 2.5, basada en gran medida en el trabajo de Boyd, establece las condiciones bajo las cuales estos polinomios poseen un cero único fuera del círculo unitario (haciéndolos de Salem o de Pisot) y caracteriza sus factores ciclotómicos.
3. Búsqueda Computacional con Límites de Brecha: Para encontrar polinomios de Salem esporádicos (no familiares) de longitud 6, los autores adaptan un algoritmo de [10] para buscar polinomios recíprocos dentro de intervalos específicos $[a, b]$. Utilizan la desigualdad de Gonçalves y los límites inferiores de Dobrowolski para restringir el espacio de búsqueda. La búsqueda implica acotar las "brechas" entre coeficientes no nulos. Cuando una brecha no puede ser acotada debido a un cero de un polinomio intermedio en el intervalo, los autores identifican esto como un punto límite correspondiente a una familia infinita o a un caso esporádico específico.
4. Análisis de Factores Ciclotómicos: Los autores calculan explícitamente los factores ciclotómicos de las familias infinitas utilizando resultantes y propiedades de las raíces de la unidad (Lema 2.3), lo que les permite determinar los polinomios mínimos y los grados de los números de Salem resultantes.

Contribuciones y Resultados Clave

• Clasificación de Longitud 5 (Teorema 1): El artículo proporciona una lista completa de todos los polinomios de Salem de longitud 5. Existen exactamente 17 tales polinomios asociados con 13 números de Salem distintos. Estos resultados confirman que no existen números de Salem de longitud 5 por debajo del número de Lehmer ($\lambda_0 \approx 1.176$), coincidiendo con hallazgos anteriores en [7] pero proporcionando una demostración rigurosa de completitud.
• Clasificación de Longitud 6 (Teorema 2): Los autores demuestran que todos menos un número finito de polinomios de Salem de longitud 6 pertenecen a una de 12 familias infinitas. Estas familias son generadas por la construcción de Salem utilizando polinomios de Pisot específicos (trinomios y $z-2$).
  • El artículo identifica 126 polinomios de Salem de longitud 6 "esporádicos" con números de Salem $\ge 1.01$.
  • De estos, 116 corresponden a números de Salem por debajo del número de Pisot más pequeño $\theta_0 \approx 1.3247$, y 10 están por encima de $\theta_0$.
  • La existencia de estas familias y la finitud del conjunto esporádico están demostradas, aunque la completitud de la lista esporádica por debajo de 1.01 depende de la suposición de que la búsqueda puede extenderse arbitrariamente cerca de 1 (lo cual es computacionalmente impráctico) o de la veracidad de la Conjetura de Lehmer.
• Factores Ciclotómicos en Familias (Teorema 3 y Proposición 5.1): El artículo detalla los factores ciclotómicos para las 12 familias infinitas. Proporciona fórmulas explícitas para los polinomios mínimos de los números de Salem en estas familias, mostrando que para $n$ grande, el grado del polinomio mínimo crece linealmente con $n$, menos un término de corrección periódico determinado por los factores ciclotómicos.
• Tablas Exhaustivas: Los autores proporcionan:
  • Tabla 1: Los 17 polinomios de Salem de longitud 5 y sus números correspondientes.
  • Tabla 2: Los 126 polinomios de Salem de longitud 6 esporádicos conocidos (para números $\ge 1.01$).
  • Tabla 4: Una compilación de todos los números de Salem conocidos por debajo del número de Pisot más pequeño $\theta_0$, listando sus grados, longitud y polinomios cortos de grado mínimo. Esto incluye la secuencia $\tau_n$ que converge a $\theta_0$ y 53 números esporádicos.

Significado
El artículo afirma proporcionar la primera clasificación completa de los polinomios de Salem de longitud 5. Para la longitud 6, establece una dicotomía estructural: el conjunto de tales polinomios consiste en un número finito de ejemplos esporádicos y un conjunto numerable de familias infinitas. Los autores señalan que su lista de polinomios de Salem de longitud 6 esporádicos es completa para números de Salem $\ge 1.01$. Indican que, aunque extender esta lista a números arbitrariamente cercanos a 1 es impráctico, la lista sería completa si la Conjetura de Lehmer (que $\lambda_0$ es el número de Salem más pequeño) es verdadera. El trabajo refina la comprensión de la distribución de los números de Salem cerca de 1 y aclara la relación entre los números de Salem, los números de Pisot y los factores ciclotómicos a través de construcciones polinómicas explícitas.