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Concurrent enforcement of polyconvexity and true-stress-true-strain monotonicity in incompressible isotropic hyperelasticity: application to neural network constitutive models

Este artículo establece que la policonvexidad implica la monotonicidad de esfuerzo-real y deformación-real en la hiperelasticidad isotrópica incompresible, un hallazgo utilizado para diseñar y calibrar cuatro arquitecturas de redes neuronales aumentadas por física que revelan diferencias significativas en el rendimiento de extrapolación a pesar de satisfacer restricciones constitutivas idénticas.

Autores originales: Maximilian P. Wollner, Dominik K. Klein, Herbert Baaser, Gerhard A. Holzapfel, Patrizio Neff

Publicado 2026-09-24

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CC BY 4.0

Autores originales: Maximilian P. Wollner, Dominik K. Klein, Herbert Baaser, Gerhard A. Holzapfel, Patrizio Neff

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Imagina un mundo donde materiales como el caucho, la silicona y los tejidos biológicos blandos pudieran ser predichos perfectamente por una computadora. Ingenieros y científicos han buscado durante mucho tiempo escribir las "reglas" que gobiernan cómo estas sustancias se estiran, se retuercen y rebotan. Estas reglas, conocidas como modelos constitutivos, son esencialmente recetas matemáticas que le dicen a una simulación cómo reaccionará un material cuando es estirado o comprimido. Durante décadas, los investigadores han dependido de fórmulas fijas, a menudo nombradas en honor a los científicos que las descubrieron, para describir este comportamiento. Sin embargo, estas fórmulas tradicionales pueden ser rígidas; luchan por capturar la realidad compleja y desordenada de los materiales del mundo real, y elegir la adecuada requiere una profunda experiencia. En años recientes, ha surgido un nuevo enfoque: utilizar inteligencia artificial, específicamente redes neuronales, para aprender estas reglas directamente de los datos experimentales. Estas redes "aumentadas por la física" son flexibles y poderosas, pero conllevan un riesgo. Si no se guían cuidadosamente, pueden aprender los datos de entrenamiento perfectamente, pero luego realizar predicciones salvajes y físicamente imposibles cuando se les pide adivinar cómo se comporta un material en situaciones que nunca han visto antes.

Un equipo de investigadores se propuso resolver este problema construyendo una red de seguridad dentro de la propia arquitectura de estas redes neuronales. Se centraron en un tipo específico de comportamiento de material llamado hiperelasticidad incompresible, que describe materiales como el caucho que cambian de forma sin cambiar su volumen. El equipo investigó dos principios físicos fundamentales que cualquier modelo de material realista debe obedecer. El primero es una garantía matemática de estabilidad, que asegura que el material no colapse espontáneamente o se comporte de manera errática bajo tensión. El segundo es una regla simple e intuitiva: a medida que se estira más un material, la fuerza requerida para estirarlo siempre debe aumentar. Los investigadores querían saber si podían obligar a sus redes neuronales a obedecer estas reglas por diseño, y si hacer esto garantizaría que las redes se comportarían razonablemente incluso cuando fueran empujadas mucho más allá de los datos con los que fueron entrenadas.

Los investigadores comenzaron revisando una clásica prueba matemática de la década de 1970 que estableció condiciones para la estabilidad de los materiales. Demostraron que, para materiales similares al caucho que no cambian de volumen, satisfacer la estricta condición de estabilidad asegura automáticamente que la fuerza requerida para estirar el material siempre aumente a medida que el estiramiento aumenta. Este fue un hallazgo teórico significativo porque significaba que, al construir una red neuronal para satisfacer la compleja regla de estabilidad, podrían tener la confianza de que la regla más simple de "más estiramiento equivale a más fuerza" seguiría de forma natural. Con esta base teórica establecida, construyeron cuatro tipos diferentes de arquitecturas de redes neuronales. Cada una fue diseñada para respetar estas leyes físicas desde el principio, pero utilizaron diferentes ingredientes matemáticos para hacerlo. Algunas redes fueron construidas utilizando medidas estándar de deformación, mientras que otras utilizaron medidas más complejas y especializadas de cómo se estira el material.

Para probar estos modelos, el equipo les suministró datos experimentales reales de tres tipos diferentes de materiales blandos similares al caucho. Calibraron las redes para que pudieran reproducir con precisión las mediciones de tensión y estiramiento de las pruebas de laboratorio. En el rango donde existían los datos, las cuatro redes funcionaron bien, aprendiendo con éxito el comportamiento de los materiales. Sin embargo, la verdadera prueba llegó cuando los investigadores pidieron a los modelos que predijeran qué sucedería fuera del rango de los datos experimentales, un proceso conocido como extrapolación. Es aquí donde los modelos divergieron drásticamente. A pesar de que las cuatro redes fueron construidas para obedecer las mismas leyes físicas y ajustarse a los datos de entrenamiento con la misma eficacia, predijeron comportamientos muy diferentes cuando se estiraron a longitudes extremas. Algunos modelos predijeron que el material continuaría endureciéndose indefinidamente, mientras que otros sugirieron que el material eventualmente se ablandaría o se comportaría de maneras que, aunque matemáticamente estables, se sentían físicamente contraintuitivas.

El estudio reveló una visión crucial: satisfacer las restricciones físicas conocidas es necesario pero no suficiente para garantizar que un modelo prediga el futuro correctamente. Los investigadores encontraron que la forma específica en que se estructura una red neuronal —la elección de los ingredientes matemáticos que utiliza para describir el material— tiene un impacto profundo en cómo se comporta cuando tiene que adivinar. Dos modelos pueden parecer idénticos cuando se prueban contra datos conocidos, y aun así, uno puede ser un predictor confiable para condiciones extremas mientras que el otro falla en capturar la verdadera naturaleza del material. Esto sugiere que simplemente añadir más datos o hacer la red más grande no es la solución. En cambio, la elección del marco matemático subyacente es tan importante como los datos mismos. Los autores concluyen que, si bien estas redes guiadas por la física son herramientas poderosas, no poseen automáticamente la capacidad de predecir el futuro con certeza. Para modelar verdaderamente el comportamiento futuro de materiales complejos, los científicos pueden necesitar incorporar incluso más intuición física en el diseño de estas redes, yendo más allá de la simple estabilidad y monotonicidad para capturar las formas más profundas y sutiles en que los materiales reales responden a fuerzas extremas.

Resumen Técnico: Imposición Concurrente de la Policovexidad y la Monotonía de Esfuerzo Verdadero–Deformación Verdadera en la Hiperelasticidad Isotrópica Incompresible

Planteamiento del Problema
El diseño de redes neuronales aumentadas por la física (PANNs) para el modelado constitutivo ha ganado una tracción significativa debido a su flexibilidad para aproximar comportamientos materiales complejos. Sin embargo, un desafío crítico persiste: garantizar que estos modelos basados en datos satisfagan restricciones físicas fundamentales, particularmente al extrapolar más allá del régimen de calibración. En el contexto de la hiperelasticidad isotrópica incompresible, dos restricciones constitutivas principales se consideran físicamente razonables: la policovexidad (que implica estabilidad material y convexidad de rango uno) y la monotonía de esfuerzo verdadero–deformación verdadera (TSTS-M), el requisito de que el esfuerzo aumente monótonamente con la deformación.

Aunque la policovexidad se impone frecuentemente en las arquitecturas PANN, su relación con la TSTS-M en materiales incompresibles ha sido objeto de ambigüedad teórica. En el caso compresible, la policovexidad no garantiza la TSTS-M. Los autores investigan si esta relación se simplifica bajo la suposición de incompresibilidad y cómo estos hallazgos teóricos impactan el rendimiento práctico y la capacidad de extrapolación de diferentes arquitecturas PANN.

Metodología
El artículo procede en dos fases distintas: derivación teórica y aplicación numérica.

Marco Teórico:
- Los autores revisan el marco clásico de la hiperelasticidad isotrópica incompresible, centrándose en la interacción entre la policovexidad y la TSTS-M.
- Proporcionan una prueba trazable de las condiciones suficientes de Ball (1976) para la policovexidad utilizando la teoría de la mayoración, ofreciendo una explicación más clara de la mecánica subyacente.
- Demuestran que, para una amplia clase de funciones de energía de deformación, las condiciones suficientes de Ball para la policovexidad implican automáticamente la TSTS-M (y la desigualdad de Hill). Esto se establece demostrando que la convexidad estricta de la función de energía de deformación en las deformaciones principales logarítmicas (deformación Hencky) es una consecuencia de estas condiciones.
- Los autores aclaran que, si bien estas condiciones son suficientes, no son necesarias, y discuten preguntas abiertas sobre si la policovexidad implica generalmente la TSTS-M en la incompresibilidad sin depender de las condiciones específicas de Ball.
Arquitectura PANN y Calibración:
- Se construyen cuatro arquitecturas PANN distintas, todas diseñadas para satisfacer las restricciones constitutivas derivadas a priori:
  - PANN– $I$ : Basada en los invariantes principales del tensor de Cauchy–Green derecho ( $I_1, I_2$ ).
  - PANN– $\sqrt{I}$ : Basada en las raíces cuadradas de estos invariantes.
  - PANN– $\lambda$ : Basada en las extensiones principales ( $\lambda_k$ ) con la invariancia por permutación impuesta mediante simetrización de grupo.
  - PANN– $\nu$ : Basada en valores singulares con signo con invariancia $\Pi(3)$ .
- Estos modelos utilizan redes neuronales convex-monotónicas (CMNNs) o redes neuronales de entrada convexa (ICNNs) con funciones de activación softplus para asegurar las propiedades matemáticas de la función de energía de deformación.
- Los modelos se calibran contra datos experimentales de tres materiales similares a la goma blanda: la goma vulcanizada de Treloar, un polímero EPDM y un material DLP impreso en 3D.
- El rendimiento se evalúa basándose en la precisión de interpolación (error cuadrático medio) y, crucialmente, en el comportamiento de extrapolación en escenarios de carga uniaxial, biaxial equitativa y corte puro.

Contribuciones Clave

Vínculo Teórico: El artículo establece que, para la hiperelasticidad isotrópica incompresible, las condiciones suficientes de Ball para la policovexidad son suficientes para garantizar la TSTS-M. Esto proporciona una base teórica rigurosa para construir PANNs que satisfagan simultáneamente las restricciones de estabilidad y de monotonía.
Comparación Arquitectónica: El estudio construye y compara cuatro parametrizaciones PANN distintas. Demuestra que satisfacer las mismas restricciones constitutivas no garantiza una capacidad de aproximación idéntica; la elección de las variables de entrada (invariantes vs. extensiones vs. valores singulares con signo) influye significativamente en la capacidad del modelo para ajustar comportamientos materiales específicos.
Análisis de Extrapolación: Un hallazgo central es que, mientras diferentes arquitecturas PANN logran una precisión de interpolación comparable (ajustando bien los datos de entrenamiento), exhiben comportamientos pronunciados y divergentes al extrapolar a grandes deformaciones.
Limitación de Curvatura: Los autores observan que, si bien las restricciones impuestas aseguran la monotonía del aumento del esfuerzo, no restringen la curvatura de la respuesta esfuerzo–deformación. En consecuencia, algunos modelos PANN predicen una respuesta de esfuerzo que aumenta monótonamente pero con curvatura negativa en grandes deformaciones, lo cual contradice la expectativa intuitiva de endurecimiento para cuerpos elásticos ideales.

Resultados

Interpolación: Los cuatro modelos PANN generalmente proporcionaron buenos ajustes a los datos experimentales, aunque el rendimiento varió según el material. Para los materiales EPDM y DLP, el modelo basado en valores singulares con signo (PANN– $\nu$ ) superó a los modelos basados en invariantes (PANN– $I$ y PANN– $\sqrt{I}$ ), lo que sugiere que las parametrizaciones basadas en invariantes pueden tener limitaciones inherentes de flexibilidad para ciertos comportamientos materiales.
Extrapolación: Se observaron desviaciones significativas en el régimen de extrapolación. Incluso los modelos con errores de interpolación casi idénticos produjeron predicciones de esfuerzo radicalmente diferentes a grandes extensiones.
- Los modelos basados en invariantes (PANN– $I$ ) mostraron una tendencia a que la respuesta de esfuerzo se aplanara o exhibiera una curvatura negativa a altas extensiones debido a las derivadas específicas de los invariantes respecto a las extensiones principales.
- Por el contrario, los modelos basados en extensiones (PANN– $\lambda$ ) y los modelos de valores singulares con signo (PANN– $\nu$ ) mantuvieron tendencias de extrapolación diferentes.
Estabilidad: Todos los modelos mantuvieron la monotonía y la estabilidad (sin violaciones de convexidad de rango uno) debido a las restricciones arquitectónicas, confirmando la derivación teórica.

Significancia y Conclusiones
El artículo concluye que, si bien las redes neuronales aumentadas por la física logran imponer restricciones constitutivas fundamentales como la policovexidad y la TSTS-M, estas restricciones por sí solas son insuficientes para garantizar una extrapolación físicamente razonable. La elección de la parametrización (la "función ansatz") actúa como un sesgo oculto que dicta el comportamiento del modelo fuera del dominio de entrenamiento.

Los autores destacan una brecha crítica en el modelado constitutivo actual: el conjunto de restricciones (policovexidad + TSTS-M) restringe la pendiente de la respuesta de esfuerzo pero no logra restringir su curvatura. Esto conduce a una ambigüedad fundamental donde múltiples modelos ajustan los datos de manera igual de efectiva pero predicen realidades físicas distintas al extrapolar. El artículo sugiere que, para la "elasticidad idealizada", podrían ser necesarias restricciones adicionales relativas a la curvatura del esfuerzo de Cauchy, aunque la formalización de tales restricciones sigue siendo un desafío abierto.

En última instancia, este trabajo sirve como una nota de advertencia para la comunidad PANN: un alto poder de aproximación y la adherencia a leyes físicas básicas no equivalen automáticamente a un poder predictivo definido. La selección de una arquitectura PANN específica constituye una elección de modelado que impacta significativamente la fiabilidad de las predicciones en regímenes de deformación no observados.

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