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Concurrent enforcement of polyconvexity and true-stress-true-strain monotonicity in incompressible isotropic hyperelasticity: application to neural network constitutive models

本文确立了在不可压缩各向同性超弹性理论中，多凸性蕴含真应力-真应变单调性，这一发现被用于设计并校准四种物理增强神经网络架构，这些架构揭示了尽管满足相同的本构约束，但在外推性能方面存在显著差异。

原作者： Maximilian P. Wollner, Dominik K. Klein, Herbert Baaser, Gerhard A. Holzapfel, Patrizio Neff

发布于 2026-09-24

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原作者： Maximilian P. Wollner, Dominik K. Klein, Herbert Baaser, Gerhard A. Holzapfel, Patrizio Neff

原始论文采用 CC BY 4.0 许可（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。 ✨ 这是对下方论文的AI生成解释。它不是由作者撰写或认可的。如需技术准确性，请参阅原始论文。阅读完整免责声明

想象一个计算机可以完美预测橡胶、硅胶和柔软生物组织等材料的世界。工程师和科学家长期以来一直试图编写支配这些物质如何拉伸、扭转和回弹的“规则”。这些被称为本构模型（constitutive models）的规则，本质上是告诉模拟程序材料在被拉伸或挤压时如何反应的数学配方。几十年来，研究人员一直依赖固定的公式，这些公式通常以发现它们的科学家的名字命名，以此来描述这种行为。然而，这些传统的公式可能非常僵化；它们难以捕捉现实世界材料中复杂且混乱的真实情况，而且选择合适的公式需要深厚的专业知识。近年来，一种新的方法出现了：利用人工智能，特别是神经网络，直接从实验数据中学习这些规则。这些“物理增强型”网络既灵活又强大，但也伴随着风险。如果引导不当，它们可能会完美地学习训练数据，但在被要求预测它们从未见过的材料行为情况时，会做出荒谬且违背物理常理的预测。

一个研究小组致力于解决这个问题，他们通过在这些神经网络的架构中内置一个“安全网”来实现。他们专注于一种特定的材料行为，即不可压缩超弹性（incompressible hyperelasticity），这描述了像橡胶这类在改变形状的同时体积保持不变的材料。该团队研究了任何现实材料模型都必须遵守的两项基本物理原则。第一是数学上的稳定性保证，确保材料在应力作用下不会自发坍塌或表现得异常紊乱。第二是一个简单直观的规则：当你进一步拉伸材料时，拉伸它所需的力应该始终增加。研究人员想知道，他们是否可以通过设计使神经网络强制遵守这些规则，并且这样做是否能保证网络在被推向远超其训练数据的范围时，依然表现得合理。

研究人员首先重新审视了 20 世纪 70 年代的一项经典数学证明，该证明确立了材料稳定性的条件。他们证明了对于不改变体积的类橡胶材料，满足严格的稳定性条件会自动确保拉伸材料所需的力会随着拉伸程度的增加而始终增加。这是一个重要的理论发现，因为这意味着通过构建一个满足复杂稳定性规则的神经网络，他们就可以确信更简单的“拉伸越多，力越大”这一规则会自然随之成立。在奠定了这一理论基础后，他们构建了四种不同类型的神经网络架构。每种架构的设计初衷都是从一开始就尊重这些物理定律，但它们使用了不同的数学成分。有些网络是使用标准的变形度量构建的，而另一些则使用了更复杂、更专门的材料拉伸度量。

为了测试这些模型，团队向它们输入了来自三种不同类型软质类橡胶材料的真实实验数据。他们对网络进行了校准，使其能够准确地重现实验室测试中的应力和拉伸测量值。在存在数据的范围内，所有四个网络都表现良好，成功学习了材料的行为。然而，真正的考验在于研究人员要求模型预测在实验数据范围之外会发生什么，这个过程被称为外推（extrapolation）。正是在这里，模型出现了显著的分歧。尽管所有四个网络都旨在遵守相同的物理定律并同样出色地拟合了训练数据，但当被拉伸到极端长度时，它们预测的行为却大相径庭。有些模型预测材料会无限持续硬化，而另一些模型则暗示材料最终会变软，或者表现出虽然在数学上稳定但感觉不符合物理直觉的行为。

这项研究揭示了一个关键洞察：满足已知的物理约束是必要的，但不足以保证模型能够正确预测未来。研究人员发现，神经网络的具体结构——即它用来描述材料的数学成分的选择——对其在进行猜测时的行为有着深远的影响。两个模型在针对已知数据进行测试时可能看起来完全一致，但在面对极端条件时，其中一个可能是可靠的预测器，而另一个则无法捕捉材料的真实本质。这表明，仅仅增加更多的数据或扩大网络规模并不是解决之道。相反，底层数学框架的选择与数据本身同样重要。作者得出结论，虽然这些物理引导型网络是强大的工具，但它们并不自动具备确定预测未知情况的能力。为了真正模拟复杂材料的未来行为，科学家们可能需要将更多的物理直觉融入到这些网络的设计中，从而超越仅仅是稳定性和单调性，去捕捉现实材料在极端力量作用下更深层、更微妙的反应方式。

技术摘要：不可压缩各向同性超弹性中多凸性与真应力–真应变单调性的并发强化

问题陈述
用于本构建模的物理增强神经网络（PANNs）因其逼近复杂材料行为的灵活性而受到了广泛关注。然而，一个关键挑战仍然存在：如何确保这些数据驱动的模型在超出校准范围进行外推时，仍能满足基本的物理约束。在不可压缩各向同性超弹性的背景下，两种本构约束被广泛认为在物理上是合理的：多凸性（意味着材料稳定性和秩一凸性）以及真应力–真应变单调性（TSTS-M，即应力随应变单调增加的要求）。

虽然在 PANN 架构中通常会强制执行多凸性，但其与不可压缩材料中 TSTS-M 的关系在理论上一直存在模糊性。在可压缩情况下，多凸性并不保证 TSSS-M。本文研究了在假设不可压缩的情况下，这种关系是否会简化，以及这些理论见解如何影响不同 PANN 架构的实际性能和外推能力。

方法论
本文分为两个截然不同的阶段进行：理论推导和数值应用。

理论框架：
- 作者重新审视了各向同性不可压缩超弹性的经典框架，重点研究了多凸性与 TSTS-M 之间的相互作用。
- 他们利用测度理论（theory of majorization）对 Ball (1976) 关于多凸性的充分条件进行了可追溯的证明，提供了对底层力学机制更清晰的解释。
- 他们证明了对于一大类不可压缩应变能函数，Ball 的多凸性充分条件会自动蕴含 TSTS-M（以及 Hill 不等式）。这是通过证明应变能函数在对数主伸长率（Hencky 应变）下的严格凸性是这些条件的必然结果来建立的。
- 作者澄清了虽然这些条件是充分的，但并非必要的，并讨论了在不依赖于 Ball 特定条件的情况下，多凸性是否在不可压缩性中普遍蕴含 TSTS-M 的开放性问题。
PANN 架构与校准：
- 构建了四种不同的 PANN 架构，所有架构都旨在从先验层面满足上述导出的本构约束：
  - PANN– $I$ ： 基于右 Cauchy–Green 张量的第一主不变量（ $I_1, I_2$ ）。
  - PANN– $\sqrt{I}$ ： 基于这些不变量的平方根。
  - PANN– $\lambda$ ： 基于主伸长率（ $\lambda_k$ ），并通过群对称化强制执行置换不变性。
  - PANN– $\nu$ ： 基于符号奇异值，具有 $\Pi(3)$ 不变性。
- 这些模型使用凸单调神经网络（CMNNs）或输入凸神经网络（ICNNs）配合 softplus 激活函数，以确保应变能函数的数学属性。
- 模型针对三种软橡胶类材料（Treloar 硫化橡胶、EPDM 聚合物和 3D 打印 DLP 材料）的实验数据进行校准。
- 通过插值精度（均方误差）以及更关键的外推行为（在单轴、双轴和纯剪切加载场景下）来评估性能。

主要贡献

理论联系： 本文确立了在不可压缩各向同性超弹性中，Ball 的多凸性充分条件足以保证 TSTS-M。这为构建同时满足稳定性与单调性约束的 PANN 提供了严密的理论基础。
架构比较： 研究构建并比较了四种不同的 PANN 参数化方案。研究表明，即使满足相同的本构约束，也不保证具有相同的逼近能力；输入变量的选择（不变量 vs. 伸长率 vs. 符号奇异值）显著影响了模型拟合特定材料行为的能力。
外推分析： 一个核心发现是，虽然不同的 PANN 架构可以实现相当的插值精度（很好地拟合训练数据），但它们在外推至大应变时表现出显著且分歧的行为。
曲率限制： 作者观察到，虽然强制执行的约束确保了应力的单调增加，但它们并不约束应力的曲率。因此，某些 PNN 模型预测的应力响应虽然单调增加，但在大应变下却表现出负曲率（软化行为），这与理想弹性体的硬化直觉相悖。

结果

插值： 所有四种 PANN 模型通常都能较好地拟合实验数据，尽管性能因材料而异。对于 EPDM 和 DLP 材料，基于符号奇异值的模型（PANN– $\nu$ ）优于基于不变量的模型（PANN– $I$ 和 PANN– $\sqrt{I}$ ），这表明基于不变量的参数化在处理某些材料行为时可能存在内在的灵活性限制。
外推： 在外推区间观察到了显著偏差。即使是具有几乎相同插值误差的模型，在高伸长率下的应力预测也表现出巨大的差异。
- 基于不变量的模型（PANN– $I$ ）由于不变量对主伸长率的特定导数特性，表现出在高伸长率下应力响应趋于平坦或呈现负曲率的倾向。
- 相比之下，基于伸长率的模型（PANN– $\lambda$ ）和基于符号奇异值模型（PANN– $\nu$ ）维持了不同的外推趋势。
稳定性： 由于架构约束，所有模型都保持了单调性和稳定性（无秩一凸性违反），证实了理论推导。

意义与结论
本文得出结论：虽然物理增强神经网络成功强制执行了多凸性和 TSTS-M 等基本本构约束，但这些约束本身不足以保证物理上合理的外推。参数化选择（即“设项函数/ansatz function”）作为一种隐藏偏置，决定了模型在训练域之外的行为。

作者强调了当前本构建模中的一个关键差距：集合约束（多凸性 + TSTS-M）限制了应力响应的斜率，但未能约束其曲率。这导致了一个根本性的歧义，即多个模型可以同样好地拟合数据，但在外推时却预测出不同的物理现实。本文指出，对于“理想弹性体”，可能需要关于 Cauchy 应力曲率的额外约束，尽管形式化此类约束仍是一个开放性挑战。

最终，这项工作为 PANN 领域提供了一个警示：高逼近能力和对基本物理定律的遵循并不自动等同于确定的预测能力。选择特定的 PANN 架构是一种建模选择，它会显著影响在未观测变形区间内预测的可靠性。

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