Hamilton--Jacobi Reachability for Spacecraft Collision Avoidance

Resumen Técnico: Alcanzabilidad Hamilton–Jacobi para la Evitación de Colisiones de Naves Espaciales

Enunciado del Problema
La rápida expansión de las constelaciones en Órbita Terrestre Baja (LEO), como Starlink de SpaceX, desafía las arquitecturas existentes de gestión del tráfico espacial (STM). La desconflictización tradicional basada en tierra y la planificación estratégica de maniobras son insuficientes para la escala de las constelaciones futuras (potencialmente 42.000 naves espaciales). El artículo aborda la necesidad de capas de seguridad automatizadas y fundamentadas matemáticamente para manejar la evitación de colisiones entre un satélite controlado y un satélite no cooperativo o secundario dentro de la misma órbita circular. El desafío central es determinar cuándo deben iniciarse maniobras evasivas para garantizar la seguridad a pesar de la intención desconocida y las perturbaciones acotadas del satélite no cooperativo.

Metodología
Los autores proponen un marco formal basado en el análisis de alcanzabilidad Hamilton–Jacobi (HJ), formulado como un juego diferencial de suma cero.

1. Dinámica y Modelado:

   • El movimiento relativo se modela en el marco Radial–Tangencial–Normal (RTN) utilizando dinámicas planas de Hill–Clohessy–Wiltshire (HCW), proporcionando una aproximación localmente lineal del movimiento orbital.
   • El estado del sistema $X = [x, y, \dot{x}, \dot{y}]^\top$ representa las posiciones y velocidades tangenciales y radiales.
   • Jugador 1 (Satélite Controlado): Aplica entradas de control acotadas (aceleraciones $u$) para evitar colisiones.
   • Jugador 2 (Satélite No Cooperativo): Modelado como una perturbación adversaria acotada $d$ con intención desconocida, representando la aceleración relativa en el peor de los casos.

2. Arquitectura de Sistema Híbrido:
   El proceso de toma de decisiones se modela como un autómata híbrido con tres modos discretos:

   • $q_{nom}$: Mantenimiento de posición nominal o órbita.
   • $q_{eva}$: Ejecución de maniobras activas de evitación de colisiones.
   • $q_{ret}$: Fase de recuperación de la trayectoria.
     Las transiciones entre estos modos están gobernadas por "condiciones de guarda" basadas en el estado del sistema en relación con el Conjunto Alcanzable hacia Atrás (BRS) y las regiones de recuperación segura.

3. Formulación de Alcanzabilidad:

   • Conjunto Objetivo ($T$): Definido como el conjunto de configuraciones relativas inseguras que violan los estándares mínimos de separación de la Comisión Federal de Comunicaciones (FCC) (una zona de colisión física).
   • Conjunto Alcanzable hacia Atrás (BRS): Calculado mediante la ecuación diferencial parcial de Hamilton–Jacobi–Isaacs (HJI). El BRS caracteriza todos los estados iniciales desde los cuales una colisión es inevitable bajo perturbaciones en el peor de los casos, independientemente del control óptimo del Jugador 1.
   • Garantía de Seguridad: Los estados fuera del BRS admiten trayectorias libre de colisiones demostrablemente. El límite del BRS sirve como la superficie de conmutación crítica; si el estado del sistema se acerca a este límite, el autómata híbrido desencadena una transición al modo evasivo ($q_{eva}$).

4. Estrategias de Control:

   • Nominal/Recuperación: Utiliza leyes de control Proporcional-Derivativo (PD) para llevar al satélite a posiciones y velocidades relativas deseadas.
   • Maniobras Evasivas: Se definen cuatro modos de escape específicos basados en la geometría RTN:
     1. Empuje radial positivo (desplazamiento hacia atrás).
     2. Empuje radial negativo (aceleración hacia adelante).
     3. Frenado puramente tangencial.
     4. Aceleración puramente tangencial.

Contribuciones Clave

• Marco Formal de Seguridad: El artículo integra la alcanzabilidad HJ con lógica de control supervisora híbrida para proporcionar garantías de seguridad rigurosas y en el peor de los casos para la evitación de colisiones de naves espaciales.
• Modelado Adversario: A diferencia de los métodos de cribado probabilísticos, este enfoque trata al satélite no cooperativo como una perturbación acotada, garantizando la seguridad incluso bajo las maniobras más agresivas (dentro de los límites) por parte de la otra parte.
• Diseño de Autómata Híbrido: Los autores definen una lógica de conmutación específica que determina exactamente cuándo abandonar las operaciones nominales para realizar maniobras evasivas y cuándo regresar al mantenimiento de posición, basándose en los conjuntos alcanzables calculados.
• Consideraciones de Escalabilidad: El marco está diseñado pensando en arquitecturas descentralizadas, adecuado para la desconflictización a nivel de vehículo individual en grandes constelaciones.

Resultados
Los autores validaron el marco utilizando simulaciones numéricas con una caja de herramientas modificada de Métodos de Niveles (Level Set Methods Toolbox).

• Parámetros de Simulación: Las simulaciones asumieron una órbita LEO de 500 km, límites de empuje simétricos de $\pm 0.1 \, \text{m/s}^2$ para el satélite controlado y perturbaciones acotadas de $\pm 0.05 \, \text{m/s}^2$ para el satélite no cooperativo.
• Verificación: El estudio calculó con éxito conjuntos de captura 2D y 3D y tubos alcanzables hacia atrás. Los resultados demuestran que el autómata híbrido identifica correctamente los límites de conmutación entre los modos nominal, evasivo y de recuperación.
• Validación de Seguridad: Los conjuntos calculados confirman que los estados fuera del BRS permiten trayectorias libre de colisiones bajo las leyes de control definidas y los límites de perturbación.

Significado y Afirmaciones
El artículo afirma ofrecer una alternativa matemáticamente rigurosa a los métodos de evitación de colisiones puramente probabilísticos. Al utilizar la alcanzabilidad HJ, el marco proporciona márgenes de seguridad explícitos en el peor de los casos, lo cual es crítico para la sostenibilidad de futuras constelaciones de satélites a gran escala. Los autores enfatizan que su enfoque permite "comportamientos demostrablemente seguros" y "decisiones de supervisión fundamentadas matemáticamente".

El artículo se mantiene modesto respecto a su alcance actual, señalando que:

• El análisis se restringe a dinámicas HCW planas (2D), omitiendo el movimiento fuera del plano, las perturbaciones seculares (como $J_2$) y los efectos orbitales no lineales.
• Los conjuntos alcanzables calculados son garantías formales específicas del modelo linealizado adoptado.
• La formulación actual es conservadora; asume que todas las realizaciones admisibles de perturbación son posibles, lo que puede sobreestimar los estados inseguros.

El trabajo futuro identificado por los autores incluye extender el marco al movimiento relativo completo en 3D, incorporar perturbaciones orbitales más realistas y desarrollar aproximaciones escalables (como descomposición o funciones de valor aprendidas) para abordar la complejidad computacional de los cálculos de conjuntos alcanzables de alta dimensión.