Hamilton--Jacobi Reachability for Spacecraft Collision Avoidance

Technische Samenvatting: Hamilton–Jacobi Bereikbaarheid voor Ruimteschotsbotsingsvoorkoming

Probleemstelling
De snelle uitbreiding van Low-Earth Orbit (LEO) constellaties, zoals SpaceX's Starlink, vormt een uitdaging voor bestaande architecturen voor ruimteverkeersmanagement (STM). Traditionele grondgebaseerde ontkoppeling en strategische manoeuvreplanning zijn ontoereikend voor de schaal van toekomstige constellaties (potentieel 42.000 ruimteschepen). Het artikel adresseert de noodzaak van geautomatiseerde, wiskundig onderbouwde veiligheidslagen om botsingsvoorkoming te hanteren tussen een gecontroleerde satelliet en een niet-coöperatieve of secundaire satelliet binnen dezelfde cirkelvormige baan. De kernuitdaging is het bepalen wanneer ontwijkende manoeuvres moeten worden ingezet om veiligheid te garanderen, ondanks de onbekende intentie en begrenste verstoringen van de niet-coöperatieve satelliet.

Methodologie
De auteurs stellen een formeel kader voor op basis van Hamilton–Jacobi (HJ) bereikbaarheidsanalyse, geformuleerd als een nul-sum differentieelspel.

1. Dynamiek en Modellering:

   • Relatieve beweging wordt gemodelleerd in het Radiaal-Tangentieel-Normaal (RTN) referentiekader met behulp van planaire Hill–Clohessy–Wiltshire (HCW) dynamica, wat een lokaal lineaire benadering van orbitale beweging biedt.
   • De systeemtoestand $X = [x, y, \dot{x}, \dot{y}]^\top$ vertegenwoordigt tangentiële en radiale posities en snelheden.
   • Speler 1 (Gecontroleerde Satelliet): Past begrenste besturingssignalen toe (versnellingen $u$) om botsingen te voorkomen.
   • Speler 2 (Niet-coöperatieve Satelliet): Gemodelleerd als een begrenste adversariële verstoring $d$ met onbekende intentie, die de worst-case relatieve versnelling vertegenwoordigt.

2. Hybride Systeemarchitectuur:
   Het besluitvormingsproces wordt gemodelleerd als een hybride automaat met drie discrete modi:

   • $q_{nom}$: Nomineel station-keeping of omcirkelen.
   • $q_{eva}$: Uitvoering van actieve botsingsvoorkomende manoeuvres.
   • $q_{ret}$: Fase van trajectherstel.
     Overgangen tussen deze modi worden beheerst door "guard-voorwaarden" gebaseerd op de systeemtoestand ten opzichte van de Achterwaarts Bereikbare Set (BRS) en veilige herstelgebieden.

3. Bereikbaarheidsformulering:

   • Doelset ($T$): Gedefinieerd als de set van onveilige relatieve configuraties die de minimumscheidingsnormen van de Federal Communications Commission (FCC) schenden (een fysieke botsingszone).
   • Achterwaarts Bereikbare Set (BRS): Berekend via de Hamilton–Jacobi–Isaacs (HJI) partiële differentiaalvergelijking. De BRS karakteriseert alle initiële toestanden waaruit een botsing onvermijdelijk is onder worst-case verstoringen, ongeacht de optimale besturing van Speler 1.
   • Veiligheidsgarantie: Toestanden buiten de BRS staan bewijsbaar botsingsvrije trajecten toe. De grens van de BRS dient als het kritieke schakelvlak; als de systeemtoestand deze grens nadert, triggert de hybride automaat een overgang naar de ontwijkende modus ($q_{eva}$).

4. Besturingsstrategieën:

   • Nominaal/Herstel: Gebruikt Proportioneel-Differentiële (PD) besturingswetten om de satelliet naar gewenste relatieve posities en snelheden te sturen.
   • Ontwijkende Manoeuvres: Vier specifieke ontsnappingsmodi worden gedefinieerd op basis van RTN-geometrie:
     1. Positieve radiale stuwkracht (drijft achteruit).
     2. Negatieve radiale stuwkracht (versnelt vooruit).
     3. Zuivere tangentiële remming.
     4. Zuivere tangentiële versnelling.

Belangrijkste Bijdragen

• Formeel Veiligheidskader: Het artikel integreert HJ-bereikbaarheid met hybride supervisory control-logica om rigoureuze, worst-case veiligheidsgaranties te bieden voor botsingsvoorkoming van ruimteschepen.
• Adversariële Modellering: In tegenstelling tot probabilistische screeningmethoden, behandelt deze aanpak de niet-coöperatieve satelliet als een begrenste verstoring, waardoor veiligheid wordt gewaarborgd zelfs onder de meest agressieve (binnen de grenzen) manoeuvres van de andere partij.
• Ontwerp Hybride Automaat: De auteurs definiëren een specifieke schakellogica die exact bepaalt wanneer nominale operaties moeten worden opgegeven voor ontwijkende manoeuvres en wanneer teruggekeerd moet worden naar station-keeping, gebaseerd op de berekende bereikbare sets.
• Schaalbaarheidsoverwegingen: Het kader is ontworpen met gedecentraliseerde architecturen in gedachten, geschikt voor individuele voertuigniveau-ontkoppeling in grote constellaties.

Resultaten
De auteurs hebben het kader gevalideerd met numerieke simulaties met een aangepaste Level Set Methods Toolbox.

• Simulatieparameters: De simulaties gingen uit van een 500 km LEO-baan, symmetrische stuwkrachtlimieten van $\pm 0,1 \, \text{m/s}^2$ voor de gecontroleerde satelliet, en begrenste verstoringen van $\pm 0,05 \, \text{m/s}^2$ voor de niet-coöperatieve satelliet.
• Verificatie: De studie heeft succesvol 2D en 3D capture sets en achterwaarts bereikbare buizen berekend. De resultaten tonen aan dat de hybride automaat correct de schakelgrenzen identificeert tussen nominale, ontwijkende en herstelmodi.
• Veiligheidsvalidatie: De berekende sets bevestigen dat toestanden buiten de BRS botsingsvrije trajecten toelaten onder de gedefinieerde besturingswetten en verstoringgrenzen.

Betekenis en Claims
Het artikel claimt een wiskundig rigoureus alternatief te bieden voor puur probabilistische botsingsvoorkomingsmethoden. Door gebruik te maken van HJ-bereikbaarheid, biedt het kader expliciete worst-case veiligheidsmarges, wat cruciaal is voor de duurzaamheid van toekomstige grootschalige satellietconstellaties. De auteurs benadrukken dat hun aanpak "bewijsbaar veilige gedragingen" en "wiskundig onderbouwde supervisory beslissingen" mogelijk maakt.

Het artikel blijft bescheiden wat betreft de huidige reikwijdte, met de opmerking dat:

• De analyse beperkt is tot planaire (2D) HCW-dynamica, waarbij beweging buiten het vlak, seculaire perturbaties (zoals $J_2$) en niet-lineaire orbitale effecten worden weggelaten.
• De berekende bereikbare sets formele garanties zijn die specifiek zijn voor het aangenomen lineariseerde model.
• De huidige formulering conservatief is; deze gaat ervan uit dat alle toelaatbare verstoringsrealisaties mogelijk zijn, wat onveilige toestanden kan overbenaderen.

Toekomstig werk geïdentificeerd door de auteurs omvat het uitbreiden van het kader naar volledige 3D-relatieve beweging, het incorporeren van realistischere orbitale perturbaties, en het ontwikkelen van schaalbare benaderingen (zoals decompositie of geleerde waarde-functies) om de computationele complexiteit van berekeningen van bereikbare sets in hoge dimensies aan te pakken.