Model--based clustering for spherical and hyper--spherical data using elliptically symmetric distributions

Resumen Técnico: Agrupamiento basado en modelos para datos esféricos e hiperesféricos utilizando distribuciones simétricas elípticas

Enunciado del Problema
Los datos direccionales, restringidos a una norma unitaria ($S^d$), son prevalentes en campos como la geología, las ciencias ambientales y la robótica. Si bien el agrupamiento basado en modelos para tales datos ha atraído un interés significativo, la mayoría de los métodos existentes se basan en distribuciones simétricas rotacionalmente (por ejemplo, von Mises–Fisher, Normal Proyectada, Cauchy Esférica). Estas distribuciones asumen una covarianza isotrópica, lo que limita su capacidad para modelar estructuras de datos complejas donde los grupos exhiben formas elípticas en lugar de simetría circular o esférica. Aunque se han propuesto distribuciones simétricas elípticas como la distribución de Kent, existe una necesidad de modelos de mezcla robustos que utilicen distribuciones propuestas recientemente y que ofrezcan ventajas computacionales y formas de contorno flexibles.

Metodología
El artículo propone un agrupamiento basado en modelos para datos esféricos e hiperesféricos utilizando mezclas de dos distribuciones simétricas elípticas específicas:

1. Gausiana Angular Simétrica Elíptica (ESAG): Propuesta por Paine et al. (2018), esta distribución surge de proyectar una distribución normal multivariada sobre la esfera. Impone restricciones en la matriz de covarianza para garantizar la identificabilidad, permitiendo contornos elípticos que coinciden con la distribución Fisher–Bingham pero con una constante de normalización de forma cerrada.
2. Cauchy Proyectada Simétrica Elíptica Esférica (SESPC): Propuesta por Tsagris y Alzeley (2025), esta distribución se deriva proyectando una distribución Cauchy tridimensional sobre la esfera bajo restricciones de simetría elíptica similares.

Estimación e Implementación:

• Algoritmo: Se emplea el algoritmo de Esperanza–Maximización (EM) para estimar los parámetros de los modelos de mezcla finitos. El paso E calcula las probabilidades de pertenencia posteriores, mientras que el paso M actualiza las proporciones de mezcla y los parámetros de la distribución.
• Optimización: Dado que no existen maximizadores de forma cerrada para los parámetros de media ($\mu$) y forma ($\gamma$) de estas densidades, se utiliza optimización numérica (por ejemplo, Nelder–Mead) en el paso M.
• Selección de Modelo: Se utiliza el criterio de Verosimilitud Completada Integrada (ICL) para determinar el número óptimo de grupos ($K$).
• Inicialización: Para evitar máximos locales, los autores comparan la inicialización mediante $k$-medias y Modelos de Mezcla Gausiana (GMM), encontrando que los GMM con covarianza estructurada producen un mejor rendimiento para estas distribuciones elípticas.
• Covariables: El marco permite la inclusión de covariables para modelar las probabilidades de mezcla (modelo concomitante) o vectores de media (mezcla de regresiones), aunque esto incrementa el costo computacional.
• Datos Hiperesféricos: Para datos que residen en hiperesferas ($d > 2$), los autores proyectan los datos sobre una esfera tridimensional utilizando el Análisis Geodésico de Componentes Principales (PGA) antes de aplicar los modelos de mezcla esféricos.

Contribuciones Clave

• Extensión de Marcos de Agrupamiento: El artículo extiende el agrupamiento basado en modelos más allá de las distribuciones simétricas rotacionalmente para incluir ESAG y SESPC, permitiendo el modelado de grupos con contornos elípticos.
• Análisis Comparativo: El estudio proporciona una comparación exhaustiva entre las mezclas ESAG y SESPG en cuanto a precisión de detección de grupos, robustez frente a la forma del grupo y eficiencia computacional.
• Adaptación Hiperesférica: Aborda la aplicación de estos modelos esféricos a datos hiperesféricos mediante proyección, un paso necesario dado que SESPC fue definida originalmente para esferas 3D.

Resultados

• Estudios de Simulación:
  • Precisión: Cuando los datos se generan a partir de mezclas ESAG, ambos modelos funcionan de manera similar. Sin embargo, cuando los datos se generan a partir de mezclas SESPC, el modelo SESPC supera a ESAG, particularmente en la detección del número correcto de grupos y en la obtención de valores más altos del Índice de Rand Ajustado (ARI).
  • Forma del Grupo: Se observa que la distribución SESPC está más "dispersa" en las colas en comparación con ESAG. En consecuencia, ESAG tiene más dificultades cuando la estructura real de los datos está altamente dispersa o cuando los grupos se forman en ángulos específicos.
  • Tamaño de Muestra y Concentración: El rendimiento mejora con tamaños de muestra más grandes y parámetros de concentración más altos ($\tau$). Los tamaños de muestra pequeños o los parámetros de concentración bajos conducen a dificultades para detectar el número correcto de grupos.
  • Costo Computacional: El modelo SESPC es consistentemente más rápido que el modelo ESAG a través de varios tamaños de muestra ($n=200, 500, 1000$).
• Aplicaciones con Datos Reales:
  • Datos de Terremotos (Norteamérica y Fiji): Ambos modelos identificaron números similares de grupos para los datos de Norteamérica (4 grupos), aunque asignaron ubicaciones específicas (por ejemplo, Hawái) de manera diferente. Se encontró que los grupos de SESPC eran más linealmente separables. Para la región de Fiji, SESPC seleccionó 4 grupos mientras que ESAG seleccionó 7; los grupos de SESPC fueron nuevamente más fáciles de separar. La inclusión de la magnitud del terremoto como covariable tuvo un efecto débil en los datos de Norteamérica pero redujo el número de grupos para el modelo ESAG de Fiji.
  • Datos de Calidad del Vino: Ambos modelos identificaron correctamente 2 grupos. ESAG logró un ARI más alto (0.700) en comparación con SESPC (0.546), lo que sugiere que ESAG fue más apropiado para este conjunto de datos específico.
  • Datos de Mayorista: ESAG detectó 3 grupos mientras que SESPC detectó 2.
  • Comparación con SC: En ambos conjuntos de datos hiperesféricos del mundo real (Vino y Mayorista), los modelos elípticos propuestos superaron al modelo de mezcla Cauchy Esférica (SC) simétrico rotacionalmente en términos de ARI.

Significado y Afirmaciones
Los autores afirman que el significado principal de este trabajo radica en relajar la suposición de covarianza isotrópica inherente a la mayoría de los métodos de agrupamiento direccional. Al utilizar mezclas ESAG y SESPC, los modelos propuestos pueden capturar estructuras de grupos elipsoidales, ofreciendo una alternativa más flexible a las distribuciones simétricas rotacionalmente.

El artículo concluye modestamente que, aunque ambas distribuciones son efectivas, la elección entre ellas depende del proceso de generación de datos subyacente: ESAG es adecuada para datos con grupos más ajustados y menos dispersos, mientras que SESPC es superior para datos con colas más pesadas o estructuras más dispersas. Además, el estudio demuestra que proyectar datos hiperesféricos sobre una esfera permite aplicar estos modelos de mezcla esféricos de manera efectiva a datos direccionales de mayor dimensión, superando a los enfoques tradicionales simétricos rotacionalmente en pruebas empíricas.