A Fibonacci theorem for Collatz trajectories via modular graph structure

Resumen Técnico: Un Teorema de Fibonacci para Trayectorias de Collatz mediante Estructura de Grafo Modular

Planteamiento del Problema
El artículo aborda la dinámica del mapa de Collatz acelerado $T(n)$, definido como $n/2$ para $n$ par y $(3n+1)/2$ para $n$ impar. Aunque la conjetura de Collatz postula que todos los enteros positivos alcanzan eventualmente el ciclo $1 \leftrightarrow 2$, no existe una demostración. El artículo se centra en una propiedad estructural específica de las trayectorias: la frecuencia con la que los enteros impares evitan la clase de residuo $4 \pmod 6$ durante sus iteraciones iniciales. Específicamente, investiga el conteo de enteros impares $n \in \{1, \dots, 2^m\}$ cuyas órbitas bajo $T$ no visitan el vértice $4$ en el grafo modular durante los pasos $2, \dots, m$.

Metodología
El autor emplea un marco de codificación dual, analizando la dinámica de Collatz simultáneamente a través de lentes binarios y modulares, vinculados por bijecciones específicas y simetrías estructurales.

1. Codificación Binaria y Residuo Correctivo:
   El artículo utiliza la codificación de paridad $C_m(n) = (c_1, \dots, c_m)$, donde $c_i = T^{i-1}(n) \pmod 2$. Una herramienta algebraica clave es el "residuo correctivo" $R(C_m(n))$, definido tal que $T^m(n) = (3^s n + R)/2^m$, donde $s$ es el peso de Hamming de la codificación. El artículo establece que $R$ depende únicamente de la codificación binaria, lo que permite que el análisis de $T^m(n)$ se realice enteramente al nivel de las cadenas binarias sin referencia al valor entero específico de $n$.

2. Codificación Modular y Construcción de Grafos:
   La dinámica también se codifica módulo 6 mediante un grafo dirigido $G$ con vértices $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$. Las transiciones están determinadas por la paridad de la iteración actual. El autor construye una bijección $\Psi_m: \{1, \dots, 6 \cdot 2^m\} \to \mathcal{P}_m(G)$, que mapea enteros a caminos dirigidos de longitud $m$ en $G$. Esta bijección comparte propiedades estructurales (biyectividad, periodicidad y antisimetría) con el mapa de codificación binaria $\Phi_m$.

3. Teoría Espectral de Grafos:
   El análisis se centra en el subgrafo $G' = G[\{1, 2, 4, 5\}]$, que es el componente fuertemente conexo absorbente único para las órbitas de enteros impares (después del paso 2). El artículo investiga las propiedades espectrales de $G'$ y sus subgrafos obtenidos al eliminar vértices específicos. El mecanismo central reside en la brecha espectral entre el subgrafo efectivo completo $G'$ y el subgrafo $H_4$ (obtenido al eliminar el vértice 4).

Contribuciones Clave y Resultados

• Conteo Exacto de Fibonacci (Teorema 4.7):
  El resultado principal es un conteo exacto de enteros impares que evitan un residuo específico. Para cada $m \ge 1$, exactamente $F(m+1)$ enteros impares en $\{1, \dots, 2^m\}$ tienen órbitas que evitan la clase de residuo $4 \pmod 6$ durante los pasos $2, \dots, m$. Aquí, $F(m+1)$ es el $(m+1)$-ésimo número de Fibonacci. Este conteo se deriva del radio espectral del subgrafo de evasión $H_4$, que es la razón áurea $\phi = (1+\sqrt{5})/2$.

• Tasa de Decaimiento Exponencial (Corolario 4.9):
  La proporción de tales enteros decae exponencialmente a la tasa $(\phi/2)^m$. Esta tasa es precisamente la relación entre el radio espectral del subgrafo de evasión $\rho(H_4) = \phi$ y el radio espectral del subgrafo efectivo completo $\rho(G') = 2$.

• Teorema de Caminos Modulares (Teorema 4.1):
  El artículo caracteriza la acción del desplazamiento $+2^m$ sobre las codificaciones modulares. Demuestra que para un entero $n$, los niveles de camino modular $i$ se preservan bajo este desplazamiento si y solo si $2^{i-1} \nmid n$. Si $2^{i-1} \mid n$, el camino se desplaza $+2$ o $+4 \pmod 6$ dependiendo de la paridad de $m+i$. Esta rigidez implica que los ciclos de longitud $m$ en progresiones aritméticas con diferencia $2^m$ están separados por al menos $6 \cdot 2^m$.

• Indispensabilidad de Vértices y Jerarquía Espectral (Teorema 4.15):
  El artículo demuestra que ningún vértice en el subgrafo efectivo $G'$ es dispensable. Eliminar cualquier vértice único $v \in \{1, 2, 4, 5\}$ reduce estrictamente el radio espectral por debajo de 2. Los radios espectrales resultantes forman una jerarquía estricta:
  $$\rho(H_2) = 1 < \rho(H_5) = \sqrt{2} < \rho(H_4) = \rho(H_1) = \phi < \rho(G') = 2$$
  Esta jerarquía gobierna las tasas de decaimiento exponencial de las trayectorias que evitan cada respectivo vértice.

• Restricciones sobre Ciclos Positivos (Corolarios 4.17 y 4.19):
  Basándose en la jerarquía espectral, el artículo demuestra que todo ciclo positivo de $T$ debe visitar la clase de residuo $2 \pmod 6$. Además, utilizando identidades de conservación de flujo dentro de $G'$, se muestra que el vértice 2 debe representar más del $18\%$ ($> m(1-\log_3 2)/2$) de los pasos en cualquier ciclo positivo de longitud $m$.

Significado y Reivindicaciones
El artículo afirma proporcionar una explicación estructural para la aparición de los números de Fibonacci en las trayectorias de Collatz, distinta de las enumeraciones combinatorias previas de permutaciones. La conexión surge de un argumento espectral en el grafo modular, donde la razón áurea aparece como el autovalor de Perron–Frobenius del subgrafo de evasión.

El autor enfatiza que el conteo de Fibonacci es exacto e incondicional, no una aproximación, impulsado por la brecha espectral $\phi/2 < 1$. El trabajo introduce una nueva bijección modular $\Psi_m$ y sus propiedades estructurales, las cuales no están presentes en la literatura previa. Si bien el artículo no resuelve la conjetura de Collatz, establece restricciones rigurosas sobre la distribución de residuos en ciclos hipotéticos, demostrando específicamente que el residuo 2 es inevitable y debe constituir una parte significativa de la longitud de cualquier ciclo. El artículo concluye identificando preguntas abiertas respecto a la efectividad de estos límites (acotar la primera ocurrencia del residuo 4) y si todos los vértices de $G'$ son visitados por ciclos no triviales.