Dynamic Mini Max Design and Sequential HB Inference for Repeated Surveys

Resumen Técnico: Diseño Dinámico Mini–Max e Inferencia HB Secuencial para Encuestas Repetidas

Planteamiento del Problema
Las Oficinas Nacionales de Estadística (ONE) que realizan encuestas repetidas se enfrentan a un doble desafío: producir estimaciones fiables de los niveles de la población en cada ola y estimar con precisión los movimientos (cambios) entre olas sucesivas. Mientras que los diseños transversales se centran en los niveles, las encuestas repetidas requieren precisión simultánea tanto para los niveles como para los movimientos. La precisión de las estimaciones de movimiento depende no solo del tamaño de la muestra, sino también del grado de solapamiento de la muestra entre las olas. La literatura existente suele tratar estos problemas por separado o se basa en la asignación estática y la estimación retrospectiva. Específicamente, los diseños de rotación clásicos (p. ej., Patterson, 1950; Rao y Graham, 1964) optimizan el solapamiento para un tamaño de muestra fijo sin incorporar la precisión basada en modelos, mientras que los métodos de estimación compuesta no abordan el diseño prospectivo. Además, los intervalos de confianza clásicos para los movimientos suelen contabilizar únicamente la varianza de muestreo, ignorando el componente de varianza del modelo derivado de la dinámica temporal, lo que puede provocar una falta de cobertura cuando los parámetros de la población evolucionan estocásticamente.

Metodología
El artículo propone un marco de Diseño Dinámico Mini-Max (DMM) que integra un Diseño Dinámico Mini-Max con una Actualización Bayesiana Jerárquica Secuencial (SHBU). Este marco extiende el enfoque Mini-Max estático (Tam, 2026a) a un entorno de encuestas repetidas utilizando un modelo de espacio de estados Bayesiano Jerárquico (HB) de tres componentes a nivel de estrato:

1. Modelo de Muestreo: Da cuenta de los diseños de encuestas complejas (agrupamiento) mediante tamaños de muestra efectivos. Utiliza una verosimilitud Binomial para variables binarias (en la escala logit) y un modelo normal de Fay–Herriot para variables continuas.
2. Modelo de Vinculación: Toma prestada fuerza entre estratos dentro de una ola utilizando covariables auxiliares y efectos aleatorios.
3. Modelo de Propagación: Un proceso AR(1) que describe la dinámica temporal, sirviendo como una distribución a priori informativa para la ola actual basada en el estado de la ola anterior.

El Componente de Diseño del DMM
La fase de diseño optimiza conjuntamente el tamaño de la muestra ($n_{h,t}$) y el número de unidades solapadas ($m_{h,t}$) para cada estrato $h$ en la ola $t$. El objetivo es minimizar el costo total de trabajo de campo sujeto a:

• Restricciones de precisión simultáneas para niveles (Coeficiente de Variación, CV) y movimientos (Error Estándar, SE).
• Límites de carga del encuestado (fracción máxima de solapamiento $\rho_{max}$).
• Un presupuesto total de trabajo de campo.

Crucialmente, la restricción del SE de movimiento se descompone en un componente de varianza de muestreo (dependiente de las variables de diseño) y un componente de varianza del modelo (dependiente de los parámetros del proceso AR(1) y del modelo de vinculación, estimados de olas anteriores). La optimización trata a $(n_{h,t}, m_{h,t})$ como variables de decisión conjunta, a diferencia de los métodos clásicos donde el tamaño de la muestra se fija habitualmente.

El Componente SHBU
La Actualización Bayesiana Jerárquica Secuencial (SHBU) propaga la incertidumbre posterior de la ola $t-1$ a la ola $t$.

• Mecanismo: En lugar de ejecutar cadenas MCMC independientes para cada ola, la SHBU utiliza las extracciones de la distribución posterior de la ola $t-1$ para condicionar la distribución a priori de la ola $t$. Específicamente, para cada extracción $b$ de la posterior de la ola $t-1$, los estados de los estratos se tratan como valores de condicionamiento fijos para la distribución a priori AR(1) en la ola $t$.
• Estimación: El marco produce estimaciones conjuntas coherentes para niveles y movimientos. El estimador de movimiento se define como la diferencia entre las extracciones emparejadas de la posterior ($\hat{\theta}^{(b)}_{d,t} - \hat{\theta}^{(b)}_{d,t-1}$), preservando la covarianza posterior inducida por el solapamiento de la muestra y la dependencia temporal.
• Intervalos: El artículo define Intervalos Bayesianos Calibrados (CBIs) tanto para niveles como para movimientos. Estos intervalos incorporan explícitamente tanto la varianza de muestreo (del diseño) como la varianza del modelo (de la propagación HB), asegurando una cobertura válida en un entorno donde la población evoluciona con el tiempo.

Contribuciones Clave

1. Optimización Conjunta: El artículo introduce un marco que optimiza simultáneamente el tamaño de la muestra y el solapamiento para cumplir con los objetivos de precisión tanto para niveles como para movimientos, un problema distinto de la asignación transversal estática.
2. Inferencia Coherente: Proporciona un marco de inferencia unificado donde las incertidumbres de nivel y movimiento se cuantifican conjuntamente. El CBI de movimiento contabiliza correctamente el componente de varianza del modelo ($\hat{V}_{mod}$), que los intervalos basados en el diseño clásico ignoran.
3. Actualización Secuencial: La SHBU permite una actualización secuencial automática sin necesidad de encadenamientos de estimadores compuestos ad hoc o truncamiento de datos históricos, ya que todo el historial posterior está codificado en la distribución a priori AR(1).
4. Estimación de Áreas Pequeñas: Al aprovechar el modelo de vinculación HB, el marco permite estimaciones fiables para dominios pequeños (estratos dispersos) que de otro modo requerirían tamaños de muestra prohibitivamente grandes bajo un enfoque puramente basado en el diseño.

Resultados
El marco fue evaluado mediante una simulación de cuatro olas basada en microdatos del Censo de Australia de 2021 (ola 1) y datos simulados para las olas 2–4, calibrados según la dinámica histórica de la Encuesta de Fuerza Laboral de la Oficina de Estadística de Australia.

• Eficiencia de Costos: Partiendo de la misma asignación proporcional del 5% ($n_A = 42,018$) utilizada en un diseño clásico, el DMM redujo el tamaño de muestra requerido a $n^* = 40,251$ (una reducción del 4.2%) cumpliendo todos los objetivos de precisión. Esto resultó en un ahorro de costos de trabajo de campo de aproximadamente un 6.3%.
• Cobertura de Niveles: Ambos diseños lograron coberturas de nivel y exactitud de punto comparables (Relación de Error Relativo Absoluto Máximo entre 0.844 y 1.263).
• Cobertura de Movimientos: Se observó una divergencia significativa. El DMM logró una cobertura de movimiento del 100% en todas las celdas de variables-dominio. En contraste, el diseño clásico logró solo un 82%–96% de cobertura (87.5%–95.0% a nivel nacional). Los intervalos clásicos tuvieron una cobertura insuficiente porque no contabilizaron el componente de varianza del modelo inherente a la evolución estocástica de la población.
• Sensibilidad: Los resultados indican que la validez de la inferencia de nivel del DMM es sensible a la calibración correcta del coeficiente de propagación AR(1); la especificación errónea puede degradar la cobertura.

Significancia
El artículo sostiene que el marco DMM ofrece un enfoque superior para las encuestas repetidas al abordar las limitaciones del diseño estático y la inferencia clásica en un entorno dinámico. Su principal significancia radica en proporcionar una cuantificación de la incertidumbre conjunta coherente para niveles y movimientos, asegurando que los intervalos de confianza para los movimientos sean válidos incluso cuando los parámetros de la población evolucionan estocásticamente. Al optimizar conjuntamente el diseño y utilizar la actualización bayesiana secuencial, el marco logra ahorros de costos y mantiene estándares de precisión rigurosos sin la intratabilidad operativa de extender las cadenas de estimadores compuestos a lo largo de muchas olas. El artículo concluye que, si bien el marco depende del supuesto de un proceso AR(1) estacionario, la disponibilidad de datos históricos permite la calibración empírica y la selección de modelos para mitigar los riesgos de especificación errónea.