Primitive inhomogeneous approximation for fixed non-singular frequencies

Resumen Técnico: Aproximación Inhomogénea Primitiva para Frecuencias No Singulares Fijas

Planteamiento del Problema
Este artículo aborda el problema de la aproximación diofántica inhomogénea primitiva en dimensiones superiores ($d \ge 2$). Específicamente, investiga el comportamiento del error de aproximación para un vector de frecuencia fijo $\alpha \in \mathbb{R}^d$ y un vector objetivo $\gamma \in \mathbb{R}^d$. El objetivo es determinar si la cantidad
$$\liminf_{n \to \infty} n^{1/d} \min_{\substack{m \in \mathbb{Z}^d \\ \gcd(n, m_1, \dots, m_d)=1}} \|\gamma - n\alpha + m\|_\infty$$
es igual a cero para casi todo $\gamma$ respecto a la medida de Lebesgue.

La restricción $\gcd(n, m_1, \dots, m_d) = 1$ impone una condición "primitiva" al vector entero $(n, m_1, \dots, m_d)$, lo que distingue este problema de la aproximación inhomogénea estándar. Mientras que el caso unidimensional ($d=1$) fue resuelto por Jitomirskaya y Liu [JL19] para todo $\alpha$ irracional, el análogo en dimensiones superiores requiere una hipótesis más matizada sobre $\alpha$. La independencia racional por sí sola es insuficiente, como demuestran los contraejemplos de Galatolo y Peterlongo [GP10] relativos a vectores singulares.

Metodología
La demostración se estructura en torno a dos componentes primarios: una estimación de discrepancia primitiva y una construcción de objetivos decrecientes (shrinking-target construction).

1. Estimaciones de Discrepancia Primitiva (Sección 3):
   Los autores establecen un conteo asintótico para el número de enteros $n \le N$ tales que el punto de la órbita $\{n\alpha\}$ cae dentro de un conjunto $A$ de Jordan medible y el vector $(n, \lfloor n\alpha_1 \rfloor - b_1, \dots, \lfloor n\alpha_d \rfloor - b_d)$ es primitivo.

   • Método de Criba: Se emplea una criba elemental utilizando la función de Möbius $\mu(r)$ para filtrar los vectores no primitivos.
   • Equidistribución de Weyl: Para un $r$ libre de cuadrados fijo, la condición de que $r$ divida a los componentes se traduce en condiciones de congruencia sobre las partes fraccionarias $\{n\alpha\}$. La distribución uniforme de $\{n\alpha\}$ (garantizada por la independencia lineal de $1, \alpha_1, \dots, \alpha_d$ sobre $\mathbb{Q}$) permite la estimación de estos conteos.
   • Control del Error: La contribución de los divisores primos grandes se controla mediante una estimación de empaquetamiento derivada de la condición de "buena escala" (1.1). Esta condición asegura que los puntos de la órbita $\{n\alpha\}$ estén suficientemente separados, evitando agrupamientos que violarían los límites de discrepancia.

2. Construcción de Objetivos Decrecientes (Sección 4):
   Para probar el resultado para casi todo $\gamma$, los autores construyen un conjunto de objetivos de medida completa utilizando un lema de Borel–Cantelli de segundo momento.

   • Conjuntos Objetivo: Para una secuencia de "buenas escalas" $N_j$ (donde se cumple la condición de separación), se colocan cajas pequeñas de longitud de lado $r_j \sim N_j^{-1/d}$ alrededor de los puntos de la órbita primitiva $\{n\alpha\}$.
   • Cuasi-independencia: Un paso técnico clave consiste en demostrar que la intersección de los conjuntos objetivo en diferentes escalas se comporta asintóticamente como el producto de sus medidas. Esta cuasi-independencia se establece analizando los efectos de frontera de las cajas y utilizando la propiedad de separación de la órbita.
   • Argumento de Medida: Al seleccionar una subsucesión de escalas y aplicar el lema del segundo momento, los autores muestran que la unión de estos objetivos decrecientes cubre casi todo el toro.

Resultados Principales
El teorema principal (Teorema 1.1) establece que para cualquier dimensión $d \ge 2$ y cualquier frecuencia $\alpha$ que pertenece a la clase explícita $\Lambda_d$ (definida por la independencia lineal sobre $\mathbb{Q}$ y una condición de no singularidad que involucra un límite inferior en $\min_{1 \le n \le N} \|n\alpha\|$), la aproximación inhomogénea primitiva se cumple para casi todo $\gamma \in \mathbb{R}^d$ respecto a la medida de Lebesgue.

Específicamente, para $\alpha \in \Lambda_d$:
$$\liminf_{n \to \infty} n^{1/d} \min_{\substack{m \in \mathbb{Z}^d \\ \gcd(n, m_1, \dots, m_d)=1}} \|\gamma - n\alpha + m\|_\infty = 0$$
Se demuestra que la clase $\Lambda_d$ tiene medida de Lebesgue completa.

Significación y Reivindicaciones
El artículo reivindica dos novedades principales:

1. Resultado de Frecuencia Fija: A diferencia de resultados métricos previos (por ejemplo, Dani, Laurent y Nogueira [DLN15]) que establecen el resultado para casi todo par $(\alpha, \gamma)$, este trabajo proporciona un resultado para un $\alpha$ prescrito fijo, siempre que $\alpha$ sea no singular. Esto aborda el problema complementario planteado por Allen y Ramírez [AR25].
2. Preservación de la Escala Crítica: El resultado demuestra que la restricción primitiva (la condición de coprimalidad) no destruye la escala crítica de objetivo decreciente de $n^{-1/d}$. Esta escala es óptima para la aproximación simultánea en dimensión $d$.

Los autores posicionan este trabajo como una extensión natural de la teoría unidimensional de Jitomirskaya y Liu [JL19] y del trabajo no primitivo en dimensiones superiores de Shapira [Sha13]. Se identifica la condición de no singularidad como la hipótesis correcta para los teoremas de frecuencia fija en dimensiones superiores, reemplazando la simple independencia racional.