Input-to-State Stable Bundle Koopman Neural ODEs for Learning Controlled Dynamics under Environmental Constraints

Resumen Técnico: ISS-BKNO para el Aprendizaje de Dinámicas Controladas bajo Restricciones Ambientales

Declaración del Problema
El artículo aborda el desafío de aprender modelos precisos y certificablemente estables para sistemas dinámicos no lineales controlados que operan bajo condiciones ambientales variables. Los enfoques existentes suelen abordar la estabilidad, los inputs extrínsecos o las restricciones ambientales de forma aislada. Específicamente:

• Los métodos de Koopman ofrecen representaciones lineales, pero a menudo pierden la estructura espectral explícita al utilizar aprendizaje profundo, lo que complica los certificados de estabilidad.
• Las Neural ODEs Estables proporcionan modelos de profundidad continua, pero frecuentemente carecen de garantías contra cambios en la distribución o perturbaciones externas.
• El aprendizaje consciente del entorno tiene dificultades para separar las restricciones geométricas (fibras) de la dinámica, manteniendo al mismo tiempo garantías de convergencia global.

Los autores identifican una brecha en los métodos que proporcionan simultáneamente: (i) un sistema de coordenadas latentes condicionado por el entorno que separa la geometría de la fibra de la dinámica; (ii) un chequeo de certificado de Estabilidad de Entrada a Estado (ISS) verificable mediante un programa semidefinido; y (iii) un objetivo de entrenamiento unificado que impone estas propiedades de forma conjunta.

Metodología: El Marco ISS-BKNO
El marco propuesto, ISS-BKNO (Input-to-State Stable Bundle Koopman Neural ODE), integra la identificación del operador de Koopman, Neural ODEs, la geometría de haces fibrosos (fiber bundles) y la certificación ISS en un proceso de elevación (lifting) de tres etapas:

1. Codificador Consciente del Haz (Bundle-Aware Encoder):
   El estado físico $x$ y la señal ambiental $\xi$ se mapean a una fibra $F_\xi$ dentro de un espacio elevado $Z$. Este codificador, $\Phi(x, \xi)$, asegura que las representaciones latentes para diferentes entornos estén geométricamente separadas, adhiriéndose a la estructura de haz $\pi: Z \to E$.

2. Espina Dorsal de Koopman Condicionada por el Entorno:
   El estado latente se eleva aún más a un espacio de observables $\psi$ mediante $\Psi(z)$. La dinámica se modela como:
   $$\dot{\psi} = K(\xi)\psi + B(\xi)u + r_\theta(\psi, u, \xi)$$
   Aquí, $K(\xi)$ y $B(\xi)$ son matrices condicionadas al entorno $\xi$ (generadas por pequeñas cabezas de MLP). Crucialmente, $K(\xi)$ está parametrizado para ser Hurwitz por construcción utilizando una descomposición de tipo Persidskii:
   $$K(\xi) = -\frac{1}{2}Q(\xi)^\top Q(\xi) + S(\xi)$$
   donde $S(\xi)$ es antisimétrica. Esto asegura que la parte simétrica de $K(\xi)$ sea semidefinida negativa, garantizando la contracción hacia la solución nominal.

3. Corrección de la Neural ODE Residual:
   Un término residual $r_\theta$ corrige la aproximación lineal. Su Jacobiano está restringido para satisfacer un límite de sector cuadrático, asegurando que la no linealidad no viole las condiciones de estabilidad.

Certificación de Estabilidad y Entrenamiento
El marco emplea una regularización ISS basada en Lyapunov. Se aprende conjuntamente con el modelo un candidato de Lyapunov cuadrático $V(\psi) = \psi^\top P \psi$. El objetivo de entrenamiento incluye un término de penalización ($L_{ISS}$) que impone una condición de disminución de Lyapunov:
$$\dot{V} \leq -\alpha V + \gamma |w|^2$$
Esta condición se formula como una Desigualdad Matriz Lineal (LMI) que involucra los parámetros aprendidos $P$, la ganancia $\gamma$ y el multiplicador de sector $\lambda$. A diferencia de la verificación post-hoc, esta LMI es parte de la pérdida de entrenamiento diferenciable, impulsando al optimizador a minimizar la ganancia ISS $\gamma$ mientras satisface las restricciones de estabilidad. El error total combina el error de predicción, la regularización ISS, el error de reconstrucción y las penalizaciones de la Función de Barrera de Control (CBF).

Contribuciones Clave

1. Elevación de Koopman Consciente del Haz: Un codificador novedoso que mapea los estados a fibras específicas del entorno, separando las restricciones geométricas de la evolución dinámica.
2. Regularización ISS Basada en Lyapunov: Una función de pérdida diferenciable que impone una condición de disminución cuadrática durante el entrenamiento, proporcionando una ganancia ISS de forma cerrada tras la convergencia.
3. Garantías Teóricas:
   • Prueba de invariancia de fibra para el mapa de coordenadas del haz.
   • Prueba de ISS para la dinámica latente con una fórmula de ganancia explícita.
   • Derivación de un límite de error de aproximación que relaciona el RMSE de predicción con el residuo de la Descomposición de Modos Dinámicos Extendida (EDMD).
4. Validación Empírica: Pruebas exhaustivas en cuatro tareas de referencia (péndulo, cart-pole, navegación de unicycle y un manipulador de 7 grados de libertad) demostrando un rendimiento superior sobre las líneas base existentes.

Resultados Experimentales
Los experimentos se realizaron en cuatro tareas que involucran variaciones en parámetros físicos (por ejemplo, longitud de la varilla, masa, fricción, carga útil) y perturbaciones externas. El marco se comparó con cinco líneas base: Neural ODE (NODE) vanilla, Koopman-EDMD, Koopman+ISS (post-hoc), ControlSynth Neural ODE (CSODE) e ICODE.

• Precisión de Predicción: ISS-BKNO logró el error cuadrático medio (RMSE) más bajo en todas las tareas. Notablemente, mostró una reducción del 58% en el RMSE de predicción en comparación con la Neural ODE vanilla.
• Robustez: Bajo perturbaciones sinusoidales, ISS-BKNO mantuvo un envolvente de error acotado consistente con los límites teóricos, mientras que los modelos sin certificados ISS explícitos (como NODE) acumularon desfases persistentes.
• Factibilidad de Estabilidad: El método logró una tasa de factibilidad de LMI del 100% durante las pruebas. En contraste, la línea base Koopman+ISS post-hoc falló en los chequeos de factibilidad en el 6% de los episodios de prueba debido a violaciones del radio espectral bajo cambios en la distribución.
• Generalización: La degradación del rendimiento fue más gradual cerca de los límites de la distribución de entrenamiento, superando a las líneas base que carecían de estructuras de fibra explícitas.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma que ISS-BKNO proporciona una solución unificada a los problemas disjuntos de estabilidad, adaptación ambiental y manejo de restricciones geométricas en el control basado en datos. Al integrar la geometría de haces fibrosos con una espina dorsal de Koopman parametrizada como Hurwitz y un regularizador ISS diferenciable, el marco elimina la necesidad de chequeos de estabilidad post-hoc. Los autores sostienen que este enfoque permite el despliegue de controladores basados en aprendizaje en entornos de seguridad crítica al proporcionar garantías de convergencia global y ganancias ISS computables directamente desde el proceso de entrenamiento. Los resultados teóricos vinculan la precisión de la predicción directamente con el residuo de EDMD, ofreciendo un criterio fundamentado para la selección del diccionario.