Input-to-State Stable Bundle Koopman Neural ODEs for Learning Controlled Dynamics under Environmental Constraints

Résumé Technique : ISS-BKNO pour l'apprentissage de la dynamique contrôlée sous contraintes environnementales

Énoncé du Problème
Le document traite du défi consistant à apprendre des modèles précis et certifiablement stables pour des systèmes dynamiques non linéaires contrôlés opérant sous des conditions environnementales variables. Les approches existantes traitent généralement la stabilité, les entrées extrinsèques ou les contraintes environnementales de manière isolée. Plus précisément :

• Les méthodes de Koopman offrent des représentations linéaires mais perdent souvent la structure spectrale explicite lors de l'utilisation de l'apprentissage profond, ce qui complique les certificats de stabilité.
• Les Neural ODEs stables fournissent des modèles à profondeur continue mais manquent fréquemment de garanties contre les décalages de distribution ou les perturbations externes.
• L'apprentissage sensible à l'environnement peine à séparer les contraintes géométriques (fibres) de la dynamique tout en maintenant des garanties de convergence globale.

Les auteurs identifient une lacune dans les méthodes qui fournissent simultanément : (i) un système de coordonnées de l'espace latent sensible à l'environnement, séparant la géométrie de la fibre de la dynamique ; (ii) un certificat de stabilité de type Input-to-State Stability (ISS) vérifiable via un programme semi-défini ; et (iii) un objectif d'apprentissage unifié imposant ces propriétés conjointement.

Méthodologie : Le cadre ISS-BKNO
Le cadre proposé, ISS-BKNO (Input-to-State Stable Bundle Koopman Neural ODE), intègre l'identification de l'opérateur de Koopman, les Neural ODEs, la géométrie des fibrés et la certification ISS dans un pipeline de levage à trois étapes :

1. Encodeur sensible au fibré (Bundle-Aware Encoder) :
   L'état physique $x$ et le signal environnemental $\xi$ sont projetés vers une fibre $F_\xi$ au sein d'un espace levé $Z$. Cet encodeur, $\Phi(x, \xi)$, garantit que les représentations latentes pour différents environnements sont géométriquement séparées, respectant la structure du fibré $\pi: Z \to E$.

2. Backbone de Koopman conditionné par l'environnement :
   L'état latent est ensuite levé vers un espace d'observables $\psi$ via $\Psi(z)$. La dynamique est modélisée comme :
   $$\dot{\psi} = K(\xi)\psi + B(\xi)u + r_\theta(\psi, u, \xi)$$
   Ici, $K(\xi)$ et $B(\xi)$ sont des matrices conditionnées sur l'environnement $\xi$ (générées par de petites têtes MLP). Crucialement, $K(\xi)$ est paramétré pour être Hurwitz par construction en utilisant une décomposition de type Persidskii :
   $$K(\xi) = -\frac{1}{2}Q(\xi)^\top Q(\xi) + S(\xi)$$
   où $S(\xi)$ est antisymétrique. Cela garantit que la partie symétrique de $K(\xi)$ est semi-définie négative, assurant la contraction vers la solution nominale.

3. Correction par Neural ODE résiduelle :
   Un terme résiduel $r_\theta$ corrige l'approximation linéaire. Son jacobien est contraint de satisfaire une borne de secteur quadratique, garantissant que la non-linéarité ne viole pas les conditions de stabilité.

Certification de Stabilité et Entraînement
Le cadre utilise une régularisation ISS basée sur la fonction de Lyapunov. Une fonction de Lyapunov quadratique candidate $V(\psi) = \psi^\top P \psi$ est apprise conjointement avec le modèle. L'objectif d'entraînement inclut un terme de pénalité ($L_{ISS}$) qui impose une condition de décroissance de Lyapunov :
$$\dot{V} \leq -\alpha V + \gamma |w|^2$$
Cette condition est formulée comme une inégalité matricielle linéaire (LMI) impliquant les paramètres appris, le gain $\gamma$ et le multiplicateur de secteur $\lambda$. Contrairement à la vérification a posteriori, cette LMI fait partie de la perte de l'apprentissage différentiable, poussant l'optimiseur à minimiser le gain ISS $\gamma$ tout en satisfaisant les contraintes de stabilité. La perte totale combine l'erreur de prédiction, la régularisation ISS, la perte de reconstruction et les pénalités de fonctions de barrière de contrôle (CBF).

Contributions Clés

1. Levage de Koopman sensible au fibré : Un nouvel encodeur qui projette les états vers des fibres spécifiques à l'environnement, séparant les contraintes géométriques de l'évolution dynamique.
2. Régularisation ISS basée sur Lyapunov : Une fonction de perte différentiable qui impose une condition de décroissance quadratique pendant l'entraînement, produisant un gain ISS en forme fermée lors de la convergence.
3. Garanties Théoriques :
   • Preuve de l'invariance de la fibre pour la carte de coordonnées du fibré.
   • Preuve de l'ISS pour la dynamique latente avec une formule de gain explicite.
   • Dérivation d'une borne d'erreur d'approximation reliant l'erreur quadratique moyenne (RMSE) de prédiction au résidu de l'Extended Dynamic Mode Decomposition (EDMD).
4. Validation Empirique : Tests complets sur quatre tâches de référence (pendule, cart-pole, navigation d'un unicycle et un manipulateur à 7 degrés de liberté) démontrant une performance supérieure aux bases de comparaison existantes.

Résultats Expérimentaux
Les expériences ont été menées sur quatre tâches impliquant des paramètres physiques variables (ex: longueur de la tige, masse, friction, charge utile) et des perturbations externes. Le cadre a été comparé à cinq bases de comparaison : Neural ODE classique (NODE), Koopman-EDMD, Koopman+ISS (a posteriori), ControlSynth Neural ODE (CSODE) et ICODE.

• Précision de Prédiction : ISS-BKNO a obtenu la RMSE la plus faible sur toutes les tâches. Notamment, il a montré une réduction de 58 % de la RMSE de prédiction par rapport au Neural ODE classique.
• Robustesse : Sous des perturbations sinusoïdales, ISS-BKNO a maintenu une enveloppe d'erreur bornée cohérente avec les bornes théoriques, tandis que les modèles sans certificats ISS explicites (comme NODE) accumulaient des décalages persistants.
• Faisabilité de la Stabilité : La méthode a atteint un taux de faisabilité LMI de 100 % lors des tests. En revanche, la base de comparaison Koopman+ISS (a posteriori) a échoué aux tests de faisabilité dans 6 % des épisodes de test en raison de violations du rayon spectral sous des décalages de distribution.
• Généralisation : La dégradation des performances a été la plus progressive près des limites de la distribution d'entraînement, surpassant les bases de comparaison dépourvues de structures de fibrés explicites.

Signification et Revendications
L'article affirme qu'ISS-BKNO fournit une solution unifiée aux problèmes disjoints de la stabilité, de l'adaptation environnementale et de la gestion des contraintes géométriques dans le contrôle piloté par les données. En intégrant la géométrie des fibrés avec un backbone de Koopman paramétré par Hurwitz et un régulariseur ISS différentiable, le cadre élimine le besoin de vérifications de stabilité a posteriori. Les auteurs soutiennent que cette approche permet le déploiement de contrôleurs basés sur l'apprentissage dans des contextes critiques pour la sécurité en fournissant des garanties de convergence globale et des gains ISS calculables directement à partir du processus d'entraînement. Les résultats théoriques lient directement la précision de la prédiction au résidu EDMD, offrant un critère principled pour la sélection du dictionnaire.