Dichotomy for the p-primary Brauer-Manin obstruction in characteristic p

Resumen Técnico: Dicotomía para la obstrucción de Brauer–Manin $p$-primaria en característica $p$

Planteamiento del problema
El artículo investiga el comportamiento de la obstrucción de Brauer–Manin para variedades suaves, proyectivas y geométricamente íntegras $X$ sobre un cuerpo de funciones global $k$ de característica $p > 0$. Específicamente, aborda la cuestión de qué lugares $v$ de $k$ son "potencialmente relevantes" para la obstrucción de Brauer–Manin $p$-primaria. Un lugar es potencialmente relevante si existe una extensión finita $L/k$, un lugar $w$ de $L$ sobre $v$, y un elemento $A \in \text{Br}(X_L)$ tal que el mapa de evaluación $\text{ev}_A: X(L_w) \to \text{Br}(L_w)$ no es constante.

Esta investigación está motivada por resultados recientes en el caso de los cuerpos de números (Bright y Newton; Ambrosi, Newton y Pagano), que muestran que si $H^0(X, \Omega^2) \neq 0$, entonces casi todos los lugares son potencialmente relevantes. Los autores buscan determinar si existe una dicotomía análoga en característica positiva, particularmente con respecto al papel del componente unipotente del grupo de Brauer.

Marco matemático y metodología
El análisis se basa en la estructura del subgrupo de torsión $p$-primaria del grupo de Brauer geométrico, $\text{Br}(X_{\bar{k}})[p^\infty]$. Siguiendo a Milne y Serre, el cociente de este grupo por su subgrupo divisible se identifica con los puntos $\bar{k}$ de un grupo cuasi-algebraico $G_X$. Este grupo $G_X$ es una extensión de un grupo étale finito $D_X$ por un grupo unipotente suave conectado $U_X$. Los autores definen $U_X$ como el grupo de Brauer unipotente de $X$.

La metodología combina dos herramientas técnicas primordiales:

1. Representabilidad de la cohomología plana: El artículo utiliza los resultados de representabilidad genérica de Bragg y Olsson [BO] para los haces de cohomología plana $R^q\pi_*\mu_{p^n}$ asociados a una extensión suave (spreading out) $\pi: \mathcal{X} \to C$ de la variedad $X$.
2. Filtración de evaluación: Para el caso donde $U_X \neq 0$, los autores emplean resultados recientes de Krishna y Majumder [KM] relativos a la filtración de Kato en el grupo de Brauer local en característica $p$ equicaracterística. Esta filtración permite la caracterización de los elementos en el grupo de Brauer que producen mapas de evaluación no constantes.

Las demostraciones implican la construcción de modelos suaves $\pi: \mathcal{X} \to C$ sobre una curva $C$ con cuerpo de funciones $k$ y el análisis del comportamiento de los haces $R^2\pi_*\mu_{p^n}$ y $R^3\pi_*\mu_{p^n}$ sobre $C$. La dimensión de $U_X$ está relacionada con las pendientes de los grupos de cohomología cristalina de $X_{\bar{k}}$.

Contribuciones clave y resultados
El resultado central es una dicotomía basada en la anulación del grupo de Brauer unipotente $U_X$:

• Teorema A (i): Si $U_X = 0$ y el esquema de Picard de $X$ es libre de $p$-torsión, entonces solo pocos lugares de $k$ son potencialmente relevantes para la obstrucción de Brauer–Manin $p$-primaria. En este caso, el conjunto de lugares potencialmente relevantes está contenido dentro del conjunto de lugares donde una extensión suave específica $\pi: \mathcal{X} \to C$ no cumple la propiedad de que $R^2\pi_*\mu_p$ sea un esquema de grupos plano finito y $R^3\pi_*\mu_p$ sea un esquema de grupos afín.
• Teorema A (ii): Si $U_X \neq 0$, entonces casi todos los lugares de $k$ son potencialmente relevantes para la obstrucción de Brauer–Manin $p$-primaria. La demostración muestra que para cualquier lugar $v$ en el soporte de un modelo adecuado, uno puede construir una clase de Brauer cuyo mapa de evaluación sea no constante mediante la explotación de la no trivialidad del esquema de grupos unipotente $R^2\pi_*\mu_p$.

Corolarios y casos especiales:

• Corolario B: Combinando el resultado $p$-primario con los resultados conocidos para el caso $\ell$-primario ($\ell \neq p$), si $U_X = 0$ y el esquema de Picard es libre de torsión, solo un número finito de lugares son relevantes para la obstrucción completa de Brauer–Manin.
• Variedades constantes (Teorema C): Si $X$ está definida sobre un cuerpo finito $\mathbb{F}$ (es decir, $X$ es una variedad constante sobre $k$):
  • Si $U_X = 0$ y el esquema de Picard es libre de torsión, el emparejamiento de Brauer–Manin es identicamente cero.
  • Si $U_X \neq 0$, cada lugar de $k$ es potencialmente relevante.
• Grupo de Brauer geométricamente libre de $p$-torsión (Proposición 4.1): Si $\text{Br}(X_{\bar{k}})[p^\infty] = 0$ (lo que implica $U_X=0$), cualquier lugar donde $X$ tenga reducción buena no es potencialmente relevante. El artículo proporciona ejemplos de superficies K3 no isotriviales que satisfacen estas condiciones, mostrando que este caso es distinto del caso de la variedad constante.

Significado y afirmaciones
El artículo afirma establecer una dicotomía fundamental en el comportamiento de la obstrucción de Brauer–Manin en característica positiva, impulsada por la presencia o ausencia del grupo de Brauer unipotente.

• Cuando $U_X = 0$, la obstrucción es "pequeña" en el sentido de que solo un conjunto finito de lugares puede obstruir el principio de Hasse vía la parte $p$-primaria.
• Cuando $U_X \neq 0$, la obstrucción es "grande", en el sentido de que casi todos los lugares son potencialmente relevantes.

Los autores señalan que, si bien la existencia de la curva $C$ requerida para las demostraciones está garantizada por Bragg–Olsson, la determinación precisa del conjunto excepcional de lugares es generalmente difícil de hacer explícita, excepto en casos específicos como las variedades constantes o aquellas con reducción buena. El trabajo extiende la comprensión de la obstrucción de Brauer–Manin desde los cuerpos de números hacia los cuerpos de funciones globales, resaltando el papel distintivo de los fenómenos unipotentes en característica $p$.