Joint reconstruction of $H(z)$ and $f\sigma_8(z)$ with physics informed neural networks

Resumen Técnico: Reconstrucción Conjunta de $H(z)$ y $f\sigma_8(z)$ con Redes Neuronales Informadas por la Física

Planteamiento del Problema
Las observaciones cosmológicas actuales presentan dos tensiones persistentes: la tensión de $H_0$ (discrepancia entre las mediciones de la escala de distancia local $\approx 73$ km s$^{-1}$ Mpc$^{-1}$ y los valores derivados del CMB $\approx 67$ km s$^{-1}$ Mpc$^{-1}$) y la tensión de $\sigma_8$ (o $S_8$) (los sondeos de lentes gravitacionales débiles de galaxias indican un crecimiento de las fluctuaciones de materia menor de lo que predice $\Lambda$CDM). Aunque trabajos previos han reconstruido el parámetro de Hubble $H(z)$ y la tasa de crecimiento $f\sigma_8(z)$ de forma independiente utilizando procesos gaussianos o Redes Neuronales Artificiales (ANN) estándar, estos métodos tratan los dos observables como estadísticamente independientes. Este enfoque descarta el acoplamiento físico conocido entre la expansión y el crecimiento dictado por la Relatividad General (RG). Específicamente, la ecuación de crecimiento lineal vincula $H(z)$ y $f\sigma_8(z)$: ignorar este vínculo durante la reconstrucción impide que los datos constrainten la historia del crecimiento a través de la historia de la expansión y viceversa.

Metodología
Los autores proponen un marco de prueba de concepto utilizando Redes Neuronales Informadas por la Física (PINNs) para reconstruir conjuntamente $H(z)$ y $f\sigma_8(z)$ sin asumir un estado de ecuación específico para la energía oscura.

• Arquitectura: El modelo emplea una red de doble cabeza con un backbone compartido. La entrada es el desplazamiento al rojo $z$ (reescalado a $[-1, 1]$), procesada a través de tres capas ocultas de anchura 512 mediante funciones de activación ELU (elegidas por su diferenciabilidad infinita). La red se ramifica en dos cabezas de salida independientes: una para $H(z)$ y otra para $f\sigma_8(z)$. Las activaciones de salida imponen límites físicos (positividad para $H(z)$ vía softplus; un rango de $(0.1, 0.9)$ para $f\sigma_8(z)$ vía sigmoid).
• Pérdida de Física: La innovación central es la inclusión de un término de pérdida de física, $\mathcal{L}_{physics}$, derivado de la ODE de crecimiento lineal de la RG:
  $$\frac{df}{d \ln a} + f^2 + \left[ 2 + \frac{1}{2} \frac{d \ln H^2}{d \ln a} \right] f = \frac{3}{2} \Omega_m(a)$$
  donde $f = f\sigma_8 / \sigma_{8,0}$ y $\Omega_m(a) = \Omega_{m,0}(1+z)^3 H_0^2 / H^2(z)$. Las derivadas requeridas para esta ecuación se calculan exactamente mediante diferenciación automática a través del grafo de computación de la red, evitando errores de discretización numérica.
• Pérdida Total: El objetivo de entrenamiento minimiza una suma ponderada: $\mathcal{L}_{total} = \mathcal{L}_{data,H} + \mathcal{L}_{data,f\sigma_8} + \lambda \mathcal{L}_{physics}$. El escalar $\lambda$ controla el compromiso entre el ajuste de los datos y la satisfacción de la ecuación física.
• Datos y Entrenamiento: La red se entrena con 50 mediciones de $H(z)$ (32 Cronómetros Cósmicos, 18 BAO) y 63 mediciones de $f\sigma_8(z)$ (Distorsiones de Velocidad de Peculiar - RSD). Se entrena un ensamble de 100 redes con semillas independientes para cuantificar la incertidumbre. El estudio prueba cuatro valores de $\lambda \in \{0, 0.01, 0.1, 1.0\}$ y ancla la normalización de $H_0$ utilizando dos prior locales: SH0ES ($73.04 \pm 1.04$) y la Red de Distancia Local ($73.50 \pm 0.81$).

Contribuciones Clave

1. Primera Reconstrucción Conjunta con PINN: Este trabajo representa, según los autores, la primera utilización de una arquitectura de múltiples cabezas informada por la física para modelar conjuntamente la historia de la expansión y el crecimiento de la estructura lineal bajo una restricción física compartida (la ODE de crecimiento de la RG) durante el entrenamiento, en lugar de como una verificación de consistencia post-hoc.
2. Diferenciación Automática para Cosmología: El método demuestra la utilidad de la diferenciación automática en la reconstrucción cosmológica para calcular derivadas exactas de las salidas de la red para el residuo de la ODE, eliminando la necesidad de mallas espaciales o aproximaciones de diferencia finita.
3. Eficacia del Acoplamiento: El estudio establece que el acoplamiento de los dos observables mediante la ecuación de crecimiento es factible y beneficioso, reduciendo la dispersión del ensamble y asegurando la consistencia dinámica.

Resultados

• Acoplamiento Óptimo: Se identifica un peso de acoplamiento de $\lambda = 0.1$ como el equilibrio óptimo entre el ajuste de datos y la consistencia física. En este valor, la pérdida de física y las pérdidas de datos convergen a magnitudes comparables, evitando que un solo término domine el gradiente.
• Anclaje de $H_0$: Sin un prior explícito de $H_0$, la red recupera un $H_0$ sesgado hacia valores bajos ($46\text{--}52$ km s$^{-1}$ Mpc$^{-1}$). Cuando se ancla a un prior de SH0ES o de la Red de Distancia Local, la red recupera $H_0$ exactamente en el valor del prior. Los dos priors diferentes producen reconstrucciones de $f\sigma_8(z)$ indistinguibles, demostrando robustez ante el valor de tensión de $H_0$ adoptado.
• Tensión de Crecimiento: El $f\sigma_8(z)$ reconstruido se sitúa sistemáticamente por debajo de la predicción $\Lambda$CDM+RG en todos los desplazamientos al rojo, con la mayor desviación alrededor de $z \sim 0.4\text{--}1.0$. Esto es consistente con la tensión de $\sigma_8$. El acoplamiento no elimina esta señal; más bien, evita que la cabeza de crecimiento absorba la tensión como ruido.
• Pruebas Nulas:
  • $Om(z)$: La prueba nula muestra una desviación marcada de la expectativa de $\Lambda$CDM plano (un perfil no plano) a bajos desplazamientos al rojo, incluyendo un descenso negativo en $z \lesssim 0.2$ (atribuido a la escasez de datos de Cronómetros Cósmicos y artefactos de reconstrucción) y un exceso en desplazamientos intermedios.
  • $Om_{f\sigma_8}(z)$: Este diagnóstico confirma un crecimiento suprimido relativo a $\Lambda$CDM, consistente con reconstrucciones ANN independientes encontradas en literatura previa (Ref. [9]).
• Sistemáticas: Los autores señalan que los valores fiduciales $\Omega_{m,0}=0.3$ y $\sigma_{8,0}=0.8$ están codificados de forma fija. La incertidumbre sistemática de estas elecciones domina la dispersión estadística del ensamble. Además, 18 puntos de datos BAO heredan el horizonte de sonido de Planck 2018, introduciendo una dependencia del modelo en el sector de la expansión.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma establecer una prueba de concepto de que el acoplamiento de $H(z)$ y $f\sigma_8(z)$ a través de la ecuación de crecimiento de la RG durante el entrenamiento es tanto factible como beneficioso. La principal significancia radica en la demostración de que:

1. La reconstrucción es robusta a la elección entre dos determinaciones locales de $H_0$ en competencia.
2. El acoplamiento físico actúa como un regularizador motivado por la física, produciendo reconstrucciones más suaves y reduciendo la incertidumbre del ensamble sin imponer un modelo de energía oscura específico.
3. El método recupera con éxito la señal de la tensión de $\sigma_8$ (crecimiento suprimido) incluso cuando está restringido por valores locales de $H_0$, lo que sugiere que la tensión es una característica robusta de los datos y no un artefacto del método de reconstrucción.

Los autores declaran explícitamente modestia respecto a sus afirmaciones: no pretenden una detección estadísticamente significativa de nueva física, ya que la dispersión del ensamble es impulsada por la sensibilidad de la inicialización en lugar del remuestreo del ruido de los datos, y no se propagan las incertididades completas de la distribución posterior. Identifican los parámetros fiduciales fijos ($\Omega_{m,0}, \sigma_{8,0}$) y la falta de correcciones de Alcock-Paczynski para los sondeos individuales como limitaciones a abordar en trabajos futuros.