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Restricted partition functions and additive complements

Este artículo responde positivamente a una pregunta de 2016 de Dai y Chen mediante la construcción de conjuntos infinitos de enteros positivos que producen una función de partición restringida con crecimiento polinómico, asegurando al mismo tiempo que cada entero positivo tenga al menos una representación.

Autores originales: Yuchen Ding

Publicado 2026-06-17

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CC BY 4.0

Autores originales: Yuchen Ding

Artículo original bajo licencia CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Esta es una explicación generada por IA del artículo a continuación. No ha sido escrita ni avalada por los autores. Para mayor precisión técnica, consulte el artículo original. Leer descargo de responsabilidad completo

Imagina que tienes una caja de herramientas gigante e infinita llena de bloques de construcción especiales. Cada bloque tiene un tamaño específico, determinado por un número en una lista llamada Conjunto A, y también tienes un libro de reglas especial llamado Conjunto M que te dice cuántos de cada bloque tienes permitido usar.

El matemático de este artículo, Yuchen Ding, está haciendo una pregunta muy específica: ¿Podemos diseñar estas dos listas (A y M) de modo que podamos construir todos los números enteros positivos (1, 2, 3, etc.) usando estos bloques, pero sin que la cantidad de formas de construirlos se salga de control?

Aquí tienes un desglose de los conceptos utilizando analogías de la vida cotidiana:

1. Los Bloques de Construcción (Particiones Restringidas)

Piensa en el número $n$ (como 100) como una torre que quieres construir.

Conjunto A es tu lista de tamaños de bloques disponibles (por ejemplo, 1, 4, 16, 256...).
Conjunto M es tu libro de reglas para los "múltiplos". Dice: "Puedes usar 0, 1 o 2 del bloque de tamaño 4, pero tal vez 0, 5 o 10 del bloque de tamaño 16".
El Objetivo: Quieres ser capaz de construir cualquier número $n$ usando estas reglas.
El Problema: Si tienes demasiadas formas de construir el mismo número, las matemáticas se vuelven complicadas. El autor quiere demostrar que la cantidad de formas de construir cualquier torre ( $p$ ) crece lentamente, específicamente, con un "crecimiento polinómico".

La Analogía: Imagina que estás horneando galletas.

Si tienes 100 recetas diferentes para una galleta con chispas de chocolate, eso es mucho trabajo para llevar la cuenta.
El "crecimiento polinómico" significa que, a medida que intentas hornear lotes cada vez más grandes de galletas, el número de nuevas recetas únicas que descubres no explota instantáneamente en millones. Crece a un ritmo manejable y predecible.

2. El Problema de la "Brecha" (The Gap Problem)

Antes de este artículo, los matemáticos sabían cómo crear listas donde podías construir cada número, pero la "brecha" entre los tamaños de los bloques no era enorme.

La Pregunta: ¿Podemos crear una lista donde los bloques se vuelvan masivamente más grandes muy rápido? Imagina una lista donde el primer bloque es de tamaño 1, el siguiente es 100, el siguiente es 10,000 y el siguiente es 1,000,000.
La brecha entre estos números es tan amplia que las matemáticas suelen fallar, haciendo imposible construir cada número o causando que el número de recetas explote.

3. La Solución: El "Par Perfecto"

Ding demuestra que la respuesta es SÍ. Puedes crear estas brechas masivas y aun así construir cada número con un número manejable de recetas.

Lo logra introduciendo un truco ingenioso que involucra Complementos Aditivos.

La Metáfora: Imagina dos equipos, el Equipo B y el Equipo S.
- El Equipo B tiene miembros que son potencias de 2 (1, 2, 4, 8, 16...).
- El Equipo S es un grupo especial de números que llena los "huecos" dejados por el Equipo B.
- Juntos, si tomas un miembro del Equipo B y uno del Equipo S y sumas sus "valores", puedes formar todos los números en la recta numérica. Son "complementos".

Ding utiliza un resultado famoso del matemático Ruzsa para encontrar un Equipo S que sea lo suficientemente disperso como para ser interesante, pero lo suficientemente denso como para llenar los huecos.

4. Cómo funciona la Construcción

Ding crea sus dos listas mágicas, A y M, basadas en estos equipos:

Conjunto A (Los Bloques): Toma los números del Equipo B y los convierte en potencias de 2 (por ejemplo, $2^1, 2^2, 2^4, 2^8...$ ). Esto crea las "brechas masivas" requeridas por la pregunta.
Conjunto M (Las Reglas): Crea reglas basadas en el Equipo S. Las reglas te permiten combinar piezas pequeñas del Equipo S para formar los coeficientes (la parte de "cuántos").

La Magia: Debido a que el Equipo B y el Equipo S son complementos perfectos, siempre puedes descomponer cualquier número en una suma que encaje con estas reglas específicas. Debido a que el Equipo S es cuidadosamente elegido, la cantidad de formas de hacer esto no explota; se mantiene dentro de un límite "polinómico" (una tasa de crecimiento manejable).

5. Por qué esto es importante (Según el artículo)

Este artículo responde a una pregunta planteada por Dai y Chen en 2016.

La Pregunta: "¿Existen dos conjuntos infinitos donde los bloques se alejen infinitamente entre sí, pero aun así podamos construir cada número con una cantidad manejable de combinaciones?"
La Respuesta: Sí. Ding construyó un ejemplo específico donde las brechas entre los bloques crecen tan rápido que la razón de sus logaritmos tiende al infinito, y aun así el sistema funciona perfectamente.

Una nota sobre el ingrediente de la "IA"

El autor, Yuchen Ding, declara abiertamente que utilizó una herramienta de IA (ChatGPT) durante su proceso de investigación.

Lo que hizo la IA: Sugirió mirar conjuntos que involucraran potencias de 2 y lo orientó hacia un teorema específico de Ruzsa sobre "secuencias lacunarias" (secuencias con grandes brechas).
Lo que hizo el Autor: El autor verificó las matemáticas, comprobó la lógica, reorganizó la demostración y escribió el artículo final. Él asume la responsabilidad total de la exactitud del trabajo.

Resumen

Yuchen Ding resolvió un rompecabezas sobre la construcción de números. Demostró que puedes tener un conjunto de bloques de construcción que están espaciados increíblemente lejos (como una escalera con peldaños que se alejan cada vez más), y un conjunto de reglas para usarlos, de tal manera que:

Puedes construir cada número entero.
La cantidad de formas de construirlos no se sale de control.

Es como demostrar que puedes tener una escalera con peldaños espaciados por una milla, pero que aún puedes subirla suavemente sin caerte, utilizando un conjunto específico y manejable de técnicas de escalada.

Resumen Técnico: Funciones de Partición Restringida y Complementos Aditivos

Planteamiento del Problema
El artículo aborda una cuestión específica en la teoría de números aditiva relativa a las funciones de partición restringida. Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de los enteros positivos y $\mathbb{N}_0 = \mathbb{N} \cup \{0\}$ . Para subconjuntos $A, M \subseteq \mathbb{N}$ , la función de partición restringida $p(n, A, M)$ cuenta el número de representaciones de un entero $n$ de la forma:
$n = \sum_{a \in A} m_a a$
donde $m_a \in M \cup \{0\}$ para todo $a \in A$ , y solo finitos $m_a$ son distintos de cero. Se dice que la función $p$ tiene crecimiento polinómico si existen constantes $c > 0$ y $n_0$ tales que $p(n, A, M) \leq n^c$ para todo $n \geq n_0$ .

El problema central, planteado por Dai y Chen en 2016 (Pregunta 1), pregunta si existen dos conjuntos infinitos $A = \{a_n\}_{n=1}^\infty$ y $M$ de enteros positivos tales que:

El conjunto $A$ es extremadamente disperso, satisfaciendo $\lim_{n\to\infty} \frac{\log a_{n+1} - \log a_n}{\log n} = +\infty$ .
$p(n, A, M) > 0$ para todo $n$ suficientemente grande (es decir, todo entero grande es representable).
La función de partición $p(n, A, M)$ exhibe un crecimiento polinómico.

Trabajos previos de Alon (2012) y Dai y Chen (2016) habían establecido la existencia de tales conjuntos con crecimiento polinómico bajo condiciones de dispersión menos estrictas o con límites de exponente específicos (por ejemplo, $p(n) < n^{2+o(1)}$ ), pero el caso de la dispersión super-logarítmica permanecía abierto.

Metodología
El autor, Yuchen Ding, emplea una construcción basada en complementos aditivos y expansiones binarias. La estrategia central consiste en:

Definir Complementos Aditivos: Dos conjuntos $B, S \subseteq \mathbb{N}_0$ se denominan complementos aditivos completos si $B + S = \mathbb{N}_0$ .
Construcción de los Conjuntos $A$ y $M$ : El artículo construye $A$ $A$ y $M$ $M$ basándose en un par de complementos aditivos $B$ $B$ y $S$ $S$ que satisfacen una condición de conteo específica. Específicamente:
- $A = \{2^b : b \in B\}$
- $M = \{ \sum_{d \in D} 2^d : D \subset S, 0 < |D| < \infty \}$ (sumas de subconjuntos finitos de potencias de 2 provenientes de $S$ ).
Mapeo Inyectivo: La demostración establece un mapa inyectivo de las representaciones de $n$ contadas por $p(n, A, M)$ hacia subconjuntos finitos del espacio producto $S \times B$ . Utilizando la unicidad de las expansiones binarias, el autor muestra que cualquier representación de $n$ corresponde a un conjunto de pares $(s, b)$ tales que $s+b \leq \log_2 n$ .
Acotación del Crecimiento: El número de tales representaciones se acota por el número de pares $(s, b) \in S \times B$ con $s+b \leq N$ (donde $N \approx \log_2 n$ ). Se demuestra que este conteo está acotado por $S(N)B(N)$ . Si $B(x)S(x) \ll x$ , el crecimiento resultante de la función de partición es polinómico.

Contribuciones Clave y Resultados
El artículo proporciona una respuesta afirmativa a la Pregunta 1 de Dai y Chen a través de los siguientes resultados:

Teorema 1: Sean $B$ y $S$ complementos aditivos completos que satisfacen la condición de conteo $B(x)S(x) \ll x$ . Si $A$ y $M$ se definen como arriba, entonces $p(n, A, M) > 0$ para cada $n \in \mathbb{N}$ y $p(n, A, M)$ tiene crecimiento polinómico.
Corolario 1 (Resolución de la Pregunta 1): Invocando un resultado de Ruzsa (1972) relativo a los complementos aditivos de potencias de dos, el autor construye conjuntos específicos $A$ $A$ y $M$ $M$ que satisfacen las condiciones del Teorema 1.
- Sea $B = \{0\} \cup \{2^k : k \geq 0\}$ .
- Sea $S$ un subconjunto de $\mathbb{N}$ derivado del teorema de Ruzsa tal que $S(x) \ll x / \log x$ y $B+S = \mathbb{N}_0$ (tras añadir finitos elementos).
- El conjunto $A$ resultante tiene elementos $a_n = 2^{2^{n-2}}$ para $n \geq 2$ .
- Esta construcción produce $\lim_{n\to\infty} \frac{\log a_{n+1} - \log a_n}{\log n} = +\infty$ , satisfaciendo el requisito de extrema dispersión.
- Dado que $B(x) \ll \log x$ y $S(x) \ll x / \log x$ , el producto $B(x)S(x) \ll x$ se cumple, asegurando el crecimiento polinómico de $p(n, A, M)$ .

Significancia
El artículo afirma responder a una pregunta de 2016 de Dai y Chen en sentido afirmativo. Demuestra que es posible construir funciones de partición restringida que sean suryectivas (representan todos los enteros positivos) y tengan crecimiento polinómico, incluso cuando el conjunto de partes permitidas $A$ es significativamente más disperso que los ejemplos conocidos anteriormente (específicamente, satisfaciendo una condición de límite donde la brecha logarítmica entre elementos consecutivos crece más rápido que cualquier potencia de $\log n$ ).

El trabajo generaliza resultados previos al vincular directamente la tasa de crecimiento de las funciones de partición restringida con las propiedades de conteo de los complementos aditivos. El autor señala que la construcción fue explorada inicialmente con la asistencia de IA generativa (ChatGPT), la cual sugirió la forma específica de los conjuntos y la conexión con el teorema de Ruzsa, aunque la verificación matemática, la reorganización y la prueba final son trabajo independiente del autor.