Unconditional Primality Certificates for the Hexagonal 3-smooth Family p = 3m(m+1) + 1: Deterministic Pocklington Witnesses and Arithmetic Filters

Resumen Técnico: Certificados Primales Incondicionales para la Familia Hexagonal 3-Smooth

Planteamiento del Problema
El artículo aborda el problema de la certificación de primalidad incondicional para una subfamilia paramétrica específica de números hexagonales centrados definida por $p = 3m(m + 1) + 1$, donde $m = 2^a 3^b - 1$ para enteros $a, b \ge 1$. Si bien el criterio de Pocklington–Lehmer ofrece una ruta práctica para probar la primalidad de enteros grandes genéricos exhibiendo un divisor totalmente factorizado $F > \sqrt{p}$ de $p-1$, el desafío radica en encontrar los "testigos" (bases $w_q$) adecuados para cada factor primo $q$ de $F$. Para esta familia específica, el divisor $F = 2^a 3^{b+1}$ está totalmente factorizado y satisface $F > \sqrt{p}$ de forma incondicional. Sin embargo, la validez de los testigos fijos (específicamente $w_2=5$ y $w_3=7$) se había observado heurísticamente pero carecía de una caracterización rigurosa y determinante. El artículo busca resolver si estos testigos fijos son universales y, de no ser así, proporcionar las condiciones exactas para su validez.

Metodología
Los autores emplean una combinación de teoría de números algebraicos y cribado aritmético elemental:

1. Marco de Pocklington–Lehmer: La prueba se basa en el criterio de que $p$ es primo si existen testigos $w_2, w_3$ tales que $w_q^{(p-1)/q} \not\equiv 1 \pmod p$ y $\gcd(w_q^{(p-1)/q}-1, p) = 1$. Dado que $p \equiv 1 \pmod 6$, esto se reduce a verificar si $w_2$ es un no residuo cuadrático y $w_3$ es un no residuo cúbico módulo $p$.
2. Reciprocidad Cuadrática: La validez de $w_2 = 5$ se analiza mediante el símbolo de Legendre $\left(\frac{5}{p}\right)$, relacionándola con los parámetros $a$ y $b$ a través de las propiedades de $m = 2^a 3^b - 1$.
3. Reciprocidad Cúbica en Enteros de Eisenstein: La validez de $w_3 = 7$ se analiza utilizando el símbolo de residuo cúbico en $\mathbb{Z}[\omega]$ (donde $\omega = e^{2\pi i/3}$). Los autores utilizan la factorización explícita $p = (m+1)^3 - m^3 = \pi \bar{\pi}$ para aplicar la ley de reciprocidad cúbica de Eisenstein. Esto permite la reducción de la residuidad cúbica de 7 módulo $p$ a una condición sobre $m$ módulo 7.
4. Filtros Aritméticos: Se derivan tres filtros elementales para eliminar candidatos no primos antes de realizar aritmética de números grandes costosa:
   • Una identidad módulo 6 (automática).
   • Un criba de residuo cuadrático de $(-3)$ (eliminando primos $q \equiv 2 \pmod 3$).
   • Una prueba de clase prohibida módulo 7 basada en las clases de residuo de $(a \pmod 3, b \pmod 6)$.

Contribuciones Clave
El artículo proporciona dos teoremas rigurosos que reemplazan las suposiciones heurísticas por reglas deterministas:

• Teorema 4.1 (Testigo $w_2=5$): La base 5 es un testigo de Pocklington válido si y solo si $a - b \equiv 1, 2 \pmod 4$. Si esta condición falla, 5 es un residuo cuadrático, y se debe seleccionar un testigo diferente.
• Teorema 4.5 (Testigo $w_3=7$): La base 7 es un testigo de Pocklington válido si y solo si $m \not\equiv 2 \pmod 7$. Esta condición es equivalente a $(a \pmod 3, b \pmod 6) \notin \{(0, 1), (1, 5), (2, 3)\}$.
• Regla de Selección Determinista: El Corolario 4.9 sintetiza estos resultados en un algoritmo completo para la selección de testigos. Si los testigos fijos fallan las comprobaciones de congruencia, el algoritmo selecciona determinísticamente el menor no residuo cuadrático o cúbico, asegurando que el proceso de certificación sea probadamente correcto en lugar de depender del azar.
• Generalización: La Proposición 4.7 extiende el análisis del carácter cúbico de 7 a la familia más amplia $p = 3m^2 + 3m + 1$ (sin la restricción 3-smooth), caracterizando la residuidad cúbica basándose en $m \pmod{21}$.

Resultados

• Eficiencia de los Filtros: La combinación del filtro módulo 7 y la criba de $(-3)$ elimina aproximadamente el 87% de los pares $(a, b)$ candidatos antes de que se realice cualquier aritmética de números grandes (Miller–Rabin o verificación de Pocklington).
• Demostración Computacional: Una implementación multi-núcleo ("PrimeQuest") generó cuatro certificados de primalidad incondicional en hardware de consumo. El certificado más grande corresponde a un primo de 29,998 dígitos decimales ($m = 2^{19435}3^{19173} - 1$).
• Verificación: El primo de 29,998 dígitos fue verificado independientemente. El certificado satisface las condiciones de Pocklington con $w_2=5$ y $w_3=7$, y el margen $2 \log_2 F - \log_2 p \approx 1.58$ bits confirma la primalidad incondicional.

Significancia y Alcance
El artículo enmarca explícitamente su contribución como estructural y explícita en lugar de de romper récords.

• Resolución de Heurísticas: Resuelve la cuestión abierta de si "5 y 7 siempre funcionan" para esta familia, demostrando que no es así, y reemplaza esta incertidumbre con condiciones de congruencia exactas.
• Afirmaciones Modestas: Los autores declaran que el artículo "no resuelve ningún problema abierto clásico". El primo de 29,998 dígitos no es un récord según los estándares generales (ya que el ECPP de propósito general maneja números mucho más grandes), pero sirve como demostración de la eficiencia del marco de trabajo en hardware comercial.
• Estatus Epistémico: Todas las afirmaciones teóricas (Teoremas 4.1, 4.5, 4.7 y los filtros) son rigurosas e incondicionales. Los resultados computacionales están verificados por aritmética exacta. El trabajo se presenta como un seguimiento de la teoría analítica previa, aislando una subfamilia 3-smooth específica donde el método de Pocklington se vuelve totalmente determinista y mínimo.