Revisiting creeping viscoelastic cross-slot flow: Global linear stability and structural sensitivity analyses

Resumen Técnico: Revisión del Flujo de Cruz de Ranura Viscoelástico en Régimen Creeping

Planteamiento del Problema
El artículo aborda el origen físico, aún no resuelto, de la inestabilidad elástica en el flujo de cruz de ranura bidimensional de fluidos Oldroyd-B en régimen creeping. Observado experimentalmente por primera vez hace casi medio siglo y reproducido numéricamente hace dos décadas, este flujo exhibe una transición de ruptura de simetría de un estado simétrico estacionario a un estado asimétrico estacionario a medida que el número de Weissenberg ($Wi$) supera un umbral crítico. A pesar de los extensos estudios fenomenológicos, el mecanismo preciso que impulsa esta inestabilidad sigue siendo objeto de debate. Hipótesis previas han atribuido el inicio a diversos factores, incluyendo el flujo compresivo corriente arriba del punto de estancamiento, el flujo extensional corriente abajo, las singularidades geométricas en esquinas afiladas, el fuerte cizallamiento cerca de las esquinas o la interacción entre elasticidad y pseudoplasticidad (shear-thinning). Los autores señalan que ha faltado una predicción teórica de primer principio del inicio de la inestabilidad y de la estructura del modo, debido en parte a las dificultades numéricas asociadas con la simulación de flujos viscoelásticos (el "problema del alto número de Weissenberg") en geometrías complejas que carecen de estados base analíticos.

Metodología
Los autores emplean un enfoque multifacético integral que combina cuatro técnicas analíticas y numéricas para un fluido Oldroyd-B difusivo en un canal de cruz de ranura 2D estándar con número de Reynolds nulo:

1. Simulaciones Numéricas Directas (DNS): Utilizando el método de elementos finitos (FEM) mediante FreeFem++, los autores resuelven las ecuaciones de Stokes incompresibles acopladas con la ley constitutiva de Oldroyd-B difusiva. Utilizan la formulación de gradiente de tensión dividida elástico-viscosa discreta (DEVSS-G) y el esquema de Petrov–Galerkin de flujo ascendente en la línea de corriente (SUPG) para la estabilización numérica.
2. Análisis de Estabilidad Lineal Global (LSA): Los autores linealizan las ecuaciones gobernantes alrededor del estado base estacionario para resolver los autovalores y automodos complejos. Esto permite predecir el $Wi$ crítico y las tasas de crecimiento temporal de las perturbaciones.
3. Análisis de Sensibilidad Estructural: Mediante el cálculo de los automodos directos y adjuntos, los autores definen campos de sensibilidad estructural (basados tanto en la velocidad como en el esfuerzo) para identificar la región del "generador de ondas" (wavemaker) —el núcleo espacial donde la inestabilidad es más sensible a la retroalimentación localizada.
4. Análisis del Presupuesto de Energía: Los autores descomponen la ecuación de evolución de la energía de la perturbación para identificar los mecanismos físicos específicos que contribuyen a la producción o disipación de energía. Se centran en el término de acoplamiento entre el estado base y las perturbaciones, analizando específicamente la densidad de potencia polimérica para localizar la fuente energética de la inestabilidad.

El estudio también investiga dos variantes geométricas del modelo de referencia: una con esquinas redondeadas (eliminando las singularidades geométricas) y otra con un cilindro centrado (eliminando el punto de estancación libre), para probar la robustez de los mecanismos identificados.

Resultos Clave

• Bifurcación y Validación: La DNS reproduce con éxito la bifurcación de tipo pitchfork supercrítica canónica, donde el flujo transiciona de simétrico a asimétrico en un número de Weissenberg crítico $Wi_{cr} \approx 0.36$. El LSA predice consistentemente este umbral y las tasas de crecimiento temporal, los cuales concuerdan con los datos de la DNS y los resultados de la Descomposición de Modos Dinámicos (DMD).
• Estructura del Modo de Inestabilidad: El automodo directo principal consiste en una perturbación quiral de velocidad-esfuerzo. La perturbación de velocidad forma una estructura vortical con forma de diamante centrada en el punto de estancamiento. Crucialmente, la perturbación de la tensión normal polimérica ($\hat{\tau}_{yy}$) exhibe paridad antisimétrica, lo que inclina y rota la hebra birrefringente generada por el flujo extensional. Esta rotación desvía las separatrices del flujo, provocando una distribución desigual del flujo en las ramas de salida.
• Núcleo Espacial (Wavemaker): El análisis de sensibilidad estructural revela que la inestabilidad no es impulsada por las esquinas ni por el punto de estancamiento en sí. En su lugar, el wavemaker basado en el esfuerzo se localiza en crestas estrechas de alta tasa de extensión dentro del flujo extensional corriente abajo del punto de estancamiento. Estas crestas exhiben un patrón de "espiga de sal" (herringbone) de perturbación de la conformación polimérica, caracterizado por un estiramiento y compresión lateral simultáneos.
• Fuente Energética: El análisis del presupuesto de energía identifica el acoplamiento entre el estado base y la perturbación como la fuente de energía dominante. Específicamente, la densidad de potencia polimérica de la perturbación ($P$) es positiva y máxima a lo largo de las mismas crestas verticales identificadas por el análisis del wavemaker. Esto indica una transferencia localizada de la energía elástica almacenada de las cadenas poliméricas deformadas de vuelta a la energía cinética de la perturbación, impulsando la inestabilidad.
• Variantes Geométricas: Tanto en la variante de esquinas redondeadas como en la de cilindro centrado, la inestabilidad persiste. El pico de densidad de potencia polimérica permanece localizado a lo largo de las crestas verticales en las regiones de flujo extensional. Esto demuestra que ni las esquinas afiladas ni un punto de estancación central libre son el ingrediente desestabilizador esencial.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma resolver la controversia sobre el origen físico de la inestabilidad elástica de la cruz de ranura. Los autores concluyen que la inestabilidad no proviene de las singularidades geométricas (esquinas) ni del punto de estancación per se, sino de la liberación de energía elástica en las regiones dominadas por la extensión características del flujo de cruz de ranura.

Específicamente, el mecanismo involucra:

1. La generación de una hebra birrefringente con tensiones normales y gradientes sustanciales en el flujo extensional corriente abajo del punto de estancamiento.
2. Una perturbación quiral que inclina y rota esta hebra.
3. La liberación de la energía elástica almacenada en crestas estrechas de alta tasa de extensión (la región del wavemaker) que alimenta el crecimiento de la inestabilidad.

Los autores sostienen que sus hallazgos reconcilian interpretaciones previas conflictivas: mientras que las esquinas afiladas no son necesarias (como muestran los experimentos OSCER), y el punto de estancación no es el único motor (como muestran los experimentos de inserción de cilindros), el ingrediente esencial es el flujo de alta tasa de extensión y el estiramiento de polímeros asociado. El estudio además valida la utilidad de integrar el análisis de estabilidad global, la sensibilidad estructural y el análisis del presupuesto de energía para comprender las inestabilidades en flujos viscoelásticos complejos donde no hay estados base analíticos disponibles.