Revisiting creeping viscoelastic cross-slot flow: Global linear stability and structural sensitivity analyses

Résumé technique : Réexamen de l'écoulement en croix à viscosité rampante

Énoncé du problème
L'article traite de l'origine physique non résolue de l'instabilité élastique dans l'écoulement en croix bidimensionnel d'un fluide de type Oldroyd-B en régime de viscosité rampante. Observé expérimentalement pour la première fois il y a près d'un demi-siècle et reproduit numériquement il y a deux décennies, cet écoulement présente une transition de rupture de symétrie d'un état stationnaire symétrique vers un état stationnaire asymétrique lorsque le nombre de Weissenberg ($Wi$) dépasse un seuil critique. Malgré de nombreuses études phénoménologiques, le mécanisme précis pilotant cette instabilité fait toujours l'objet de débats. Des hypothèses antérieures ont attribué l'apparition de l'instabilité à divers facteurs, notamment l'écoulement de compression en amont du point de stagnation, l'écoulement d'extension en aval, les singularités géométriques aux coins saillants, les cisaillements intenses près des coins, ou l'interaction entre l'élasticité et le comportement de rhéofluidification. Les auteurs notent qu'une prédiction théorique de premier principe de l'apparition de l'instabilité et de la structure du mode fait défaut, en partie à cause des difficultés numériques liées à la simulation des écoulements viscoélastiques (le « problème du nombre de Weissenberg élevé ») dans des géométries complexes dépourvues d'états de base analytiques.

Méthodologie
Les auteurs emploient une approche multidimensionnelle complète combinant quatre techniques analytiques et numériques pour un fluide d'Oldroyd-B diffusif dans un canal en croix 2D standard à nombre de Reynolds nul :

1. Simulations Numériques Directes (DNS) : En utilisant la méthode des éléments finis (FEM) via FreeFem++, les auteurs résolvent les équations de Stokes incompressibles couplées à la loi de comportement diffusive d'Oldroyd-B. Ils utilisent la formulation de gradient de contrainte divisée élastique-visqueuse discrète (DEVSS-G) et le schéma de l'Upwind de Petrov–Galerkin de type Streamline (SUPG) pour la stabilisation numérique.
2. Analyse de Stabilité Linéaire Globale (LSA) : Les auteurs linéarisent les équations directrices autour de l'état de base stationnaire pour résoudre les valeurs propres et les modes propres complexes. Cela permet de prédire le $Wi$ critique et les taux de croissance temporelle des perturbations.
3. Analyse de Sensibilité Structurelle : En calculant à la fois les modes propres directs et adjoints, les auteurs définissent des champs de sensibilité structurelle (basés sur la vitesse et sur le stress) afin d'identifier la région du « wavemaker » (générateur d'instabilité) — le cœur spatial où l'instabilité est la plus sensible au feedback localisé.
4. Analyse du Bilan Énergétique : Les auteurs décomposent l'équation d'évolution de l'énergie de la perturbation pour identifier les mécanismes physiques spécifiques contribuant à la production ou à la dissipation d'énergie. Ils se concentrent sur le terme de couplage entre l'état de base et les perturbations, en analysant spécifiquement la densité de puissance polymérique pour localiser la source énergétique de l'instabilité.

L'étude examine également deux variantes géométriques du modèle de base : l'une avec des coins arrondis (supprimant les singularités géométriques) et l'autre avec un cylindre centré (éliminant le point de stagnation libre), afin de tester la robustesse des mécanismes identifiés.

Résultats Clés

• Bifurcation et Validation : La DNS reproduit avec succès la bifurcation de type pitchfork supercritique canonique, l'écoulement passant d'un état symétrique à un état asymétrique à un nombre de Weissenberg critique $Wi_{cr} \approx 0,36$. La LSA prédit systématiquement ce seuil et les taux de croissance temporelle, qui concordent avec les données de la DNS et les résultats de la Décomposition en Modes Dynamiques (DMD).
• Structure du Mode d'Instabilité : Le mode propre direct principal consiste en une perturbation chirale de la vitesse et du stress. La perturbation de vitesse forme une structure vorticale en forme de diamant centrée sur le point de stagnation. Crucialement, la perturbation de la contrainte normale polymérique ($\hat{\tau}_{yy}$) présente une parité antisymétrique, ce qui incline et fait pivoter le brin biréfringent généré par l'écoulement d'extension. Cette rotation dévie les séparatrices de l'écoulement, entraînant une distribution inégale du flux dans les branches de sortie.
• Cœur Spatial (Wavemaker) : L'analyse de sensibilité structurelle révèle que l'instabilité n'est pas pilotée par les coins ou par le point de stagnation lui-même. Au contraire, le wavemaker basé sur le stress est localisé dans de minces crêtes à taux d'extension élevé au sein de l'écoulement d'extension en aval du point de stagnation. Ces crêtes présentent un motif en « chevrons » de perturbation de la conformation polymérique, caractérisé par une simultanéité d'étirement et de compression latéraux.
• Source Énergétique : L'analyse du bilan énergétique identifie le couplage entre l'état de base et la perturbation comme la source d'énergie dominante. Plus précisément, la densité de puissance polymérique de la perturbation ($P$) est positive et maximale le long des mêmes crêtes verticales identifiées par l'analyse du wavemaker. Cela indique un transfert localisé de l'énergie élastique stockée des chaînes polymères déformées vers l'énergie cinétique de la perturbation, pilotant ainsi l'instabilité.
• Variantes Géométriques : Dans les variantes à coins arrondis et à cylindre centré, l'instabilité persiste. Le pic de densité de puissance polymérique reste localisé le long des crêtes verticales dans les régions d'extension de l'écoulement. Cela démontre que ni les coins saillants, ni le point de stagnation central libre ne sont l'ingrédient déstabilisant essentiel.

Signification et Revendications
L'article prétend résoudre la controverse concernant l'origine physique de l'instabilité élastique en croix. Les auteurs concluent que l'instabilité ne provient pas des singularités géométriques (coins) ou du point de stagnation en soi, mais plutôt de la libération de l'énergie élastique dans les régions dominées par l'extension, caractéristiques de l'écoulement en croix.

Plus précisément, le mécanisme implique :

1. La génération d'un brin biréfringent avec des contraintes normales et des gradients substantiels dans l'écoulement d'extension en aval du point de stagnation.
2. Une perturbation chirale qui incline et fait pivoter ce brin.
3. La libération de l'énergie élastique stockée dans de minces crêtes à taux d'extension élevé (la région du wavemaker) qui alimente la croissance de l'instabilité.

Les auteurs affirment que leurs conclusions réconcilient les interprétations conflictuelles précédentes : alors que les coins saillants ne sont pas nécessaires (comme le montrent les expériences OSCER), et que le point de stagnation n'est pas le seul moteur (comme le montre l'insertion de cylindres), l'ingrédient essentiel est l'écoulement à haut taux d'extension et l'étirement des polymères associé. L'étude valide également l'utilité de l'intégration de la stabilité globale, de la sensibilité structurelle et de l'analyse du bilan énergétique pour comprendre les instabilités dans les écoulements viscoélastiques complexes où les états de base analytiques sont indisponibles.