Quantum CT via Dynamic Interval Encoding and Prior-Balanced QUBO Reconstruction

Resumen Técnico: CT Cuántico mediante Codificación de Intervalos Dinámicos y Reconstrucción QUBO con Equilibrio de Prioris

Planteamiento del Problema
La Tomografía Computarizada (CT) basada en Optimización Binaria Cuadrática sin Restricciones (QUBO) reformula la reconstrucción de imágenes como un problema cuadrático binario resoluble mediante recocido cuántico (quantum annealing) o solucionadores híbridos cuánticos-clásicos. Sin embargo, existe un cuello de botella crítico para la CT de escala de grises: el "presupuesto de variables binarias".

• Codificación Global Fija: Los enfoques tradicionales asignan una codificación de plano de bits global fija a cada píxel. A medida que aumenta la precisión del nivel de gris (profundidad de bits), el número de variables binarias, los acoplamientos cuadráticos y los rangos de coeficientes crecen rápidamente, haciendo que la instancia de QUBO sea demasiado grande para el hardware actual.
• Codificación de Pocos Bits: Por el contrario, el uso de codificaciones globales de pocos bits introduce errores de cuantificación sustanciales, fallando al capturar los coeficientes de atenuación continuos y las transiciones estructurales sutiles inherentes a las imágenes en escala de grises.
  El artículo identifica la necesidad de equilibrar la expresividad de la escala de grises con las restricciones del presupuesto de variables binarias disponible en una sola ronda de optimización QUBO.

Metodología
Los autores proponen un marco de reconstrucción que reemplaza la codificación global fija por una Codificación de Intervalos Dinámicos combinada con una Optimización con Equilibrio de Prioris. El proceso opera en rondas de refinamiento iterativo:

1. Codificación de Intervalos Dinámicos:

   • En lugar de un libro de códigos global, cada píxel activo se codifica utilizando un conjunto de candidatos locales centrado alrededor de su estimación actual ($c_p^{(t)}$).
   • Dentro de un intervalo de búsqueda local $[c_p^{(t)} - r_p^{(t)}, c_p^{(t)} + r_p^{(t)}]$, el valor del píxel se representa mediante un vector binario de pocos bits (por ejemplo, 2 bits), lo que genera cuatro valores candidatos discretos.
   • Esto permite que el sistema utilice un número compacto de variables por ronda mientras mantiene una alta resolución efectiva mediante actualizaciones iterativas.

2. Actualización de Intervalo Guiada por el Impacto en el Límite (Boundary-Hit):

   • Después de resolver la optimización binaria, el centro del intervalo se actualiza al valor decodificado del píxel.
   • El ancho del intervalo ($r_p$) se ajusta de forma adaptativa basándose en si la solución impacta en el límite del intervalo local actual:
     • Impacto en el Límite (Boundary Hit): Si la solución está en el borde del intervalo, esto sugiere una cobertura insuficiente. El intervalo se reinicia al ancho de búsqueda inicial ($r_{init}$) para expandir la búsqueda.
     • Impacto en el Interior (Interior Hit): Si la solución está dentro de los límites, el intervalo se contrae (se reduce) para refinar la precisión local.

3. Construcción de QUBO Equilibrada:

   • La función objetivo combina un término de fidelidad de datos (consistencia de proyección) y un prior cuadrático de preservación de bordes.
   • Para garantizar la estabilidad, el método emplea una normalización basada en percentiles para equilibrar las escalas de los coeficientes de los términos de datos y de los prior antes de formar la matriz QUBO final. Esto evita que los coeficientes extremos dominen la optimización.
   • El prior utiliza pesos de bordes adaptativos derivados de una imagen de referencia para preservar las transiciones estructurales sin penalizarlas excesivamente.

Contribuciones Clave

1. Codificación de Intervalos Dinámicos: Los autores introducen un mecanismo para mejorar la expresividad efectiva de la escala de grises sin aumentar la profundidad de bits por ronda. Al actualizar los intervalos locales a través de las rondas, el método evita los problemas de escalabilidad de las codificaciones de altos bits globales fijas.
2. Mecanismo de Actualización Adaptativo: Se desarrolla una regla guiada por el impacto en el límite para cambiar dinámicamente entre la expansión de la búsqueda y el refinamiento local, asegurando que el algoritmo no quede atrapado en mínimos locales o falle al cubrir el verdadero espacio de soluciones.
3. Optimización con Equilibrio de Prioris: El marco integra la consistencia de datos en el dominio de la proyección con un prior de preservación de bordes, utilizando una estrategia de normalización para estabilizar la optimización conjunta de estos términos contrapuestos.
4. Validación de Hardware: La formulación se valida en el solucionador de modelo cuadrático binario híbrido (BQM) de D-Wave, demostrando su ejecutabilidad en un backend híbrido cuántico-clásico respaldado por hardware.

Resultados Experimentales
El método fue evaluado en tareas de CT de visión dispersa (sparse-view: 9 y 18 vistas) y de ángulo limitado de haz en abanico (fan-beam) utilizando imágenes de 32×32 (y un fantoma de 72×72 para pruebas de escalabilidad).

• Desempeño: El método propuesto (tanto las variantes de Simulated Annealing como las de D-Wave Hybrid) superó significativamente a las líneas base analíticas (FBP), iterativas (SART, CGN), variacionales (SART-TV, TV-PDHG) y de representación (Gaussian, Spener).
  • En experimentos de visión dispersa, la variante Híbrida logró un PSNR promedio de 40.63 dB y un NRMSE de 0.0097, comparado con 33.55 dB y 0.0217 para la mejor línea base convencional (TV-PDHG).
  • El método recuperó las estructuras y las distribuciones de escala de grises de manera más fiel, reduciendo los artefactos de rayas (streaks) y los errores residuales.
• Análisis de Expresividad: Las comparaciones mostraron que la codificación dinámica de 2 bits superó a las codificaciones globales fijas que iban de 2 a 5 bits. El enfoque dinámico alcanzó un PSano PSNR de 51.88 dB en una prueba representativa, mientras que la codificación fija de 5 bits solo alcanzó 30.72 dB, resaltando la eficiencia de la estrategia de intervalo local.
• Estudios de Ablación: La eliminación del prior de preservación de bordes o del mecanismo de equilibrio de términos provocó una degradación significativa en la continuidad estructural y la calidad de la reconstrucción, confirmando la necesidad de ambos componentes.
• Escalabilidad: El método reconstruyó con éxito un fantoma de 72×72 (4,460 variables binarias) utilizando tanto solucionadores locales como híbridos, aunque la dificultad de optimización aumentó con el tamaño de la imagen.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma que el marco propuesto aborda el cuello de botella fundamental de la representación en la reconstrucción de CT de escala de grises mediante QUBO. Al desacoplar el requisito global de profundidad de bits del presupuesto de variables por ronda mediante la codificación local dinámica, el método permite una reconstrucción de escala de grises de alta fidelidad en el hardware cuántico e híbrido actual.

• Los autores enfatizan que las mejoras de desempeño provienen principalmente de la representación efectiva de la escala de grises y el acoplamiento estable de fidelidad de datos–prior, más que de comportamientos específicos del solucionador.
• El trabajo sirve como una prueba de concepto, demostrando que el diseño de la representación es central para la reconstrucción de CT compatible con la computación cuántica.
• El artículo señala modestamente que, si bien el método funciona en instancias más grandes (72×72), la reconstrucción de CT mediante QUBO a gran escala sigue siendo un desafío debido a las restricciones de variables binarias y profundidad de bits, identificando esto como una dirección clave para el trabajo futuro que involucre datos ruidosos y medidos.