Measurable Majorities Are Not Finitely Axiomatizable

Resumen Técnico: Las Mayorías Medibles No Son Finitamente Axiomatizables

Planteamiento del Problema
El artículo investiga la axiomatización finita del razonamiento de mayoría estricta dentro de marcos de decisión social finitos. Específicamente, aborda si el criterio de coherencia que caracteriza cuándo los juicios de mayoría cualitativos son representables por una medida finitamente aditiva puede ser reemplazado, en el entorno finito, por cualquier fragmento finito acotado. La cuestión central es si el "índice de incoherencia" —la longitud mínima de una secuencia de bloques de votación requerida para exponer una contradicción estructural (incoherencia)— está uniformemente acotado en todos los marcos finitos. Este problema resuelve la Conjetura 5.7 de Moss y Pedersen (2026), la cual postulaba que no existe tal cota finita uniforme.

Metodología
Los autores proporcionan una prueba puramente geométrica de la no acotación del índice de incoherencia, ofreciendo una alternativa al reciente enfoque combinatorio de Blanco (2026). La metodología procede de la siguiente manera:

1. Mapeo Geométrico: El estudio mapea las propiedades de la selección de subconjuntos directamente en la geometría de los espacios vectoriales racionales ($\mathbb{Q}^{W_k}$). Los subconjuntos se representan mediante vectores indicadores bipolares ($x_A \in \{-1, 1\}^{W_k}$), donde la condición de una secuencia "perfectamente equilibrada" (que cubre el universo exactamente $m/2$ veces) se traduce en una condición de suma cero ($\sum x_{A_i} = 0$).
2. Construcción del Núcleo: Para un entero fijo $k \geq 1$, los autores construyen un universo específico de votantes $W_k$ consistente en todos los subconjuntos de $(k+1)$ elementos de un conjunto base $V_k = \{1, \dots, 2k+2\}$. El tamaño de este universo es el coeficiente binomial central $\binom{2k+2}{k+1}$.
3. Bloques Dictadores y Linealidad Independiente: Se define un "núcleo" de $2k+2$ "bloques dictadores", donde cada bloque contiene a todos los votantes que poseen un elemento base específico. Los autores demuestran que cualquier secuencia no vacía perfectamente equilibrada formada exclusivamente de estos bloques debe tener una longitud que sea un múltiplo de $2k+2$. Esto establece una cota inferior en la longitud de cualquier potencial violación de coherencia derivada de este núcleo.
4. Separación de Vectores Genéricos: Utilizando un "Lema de Unión Finita" (Białynicki-Birula et al., 1959), los autores construyen un vector racional genérico $u^*_k$ que es ortogonal al espacio lineal de los vectores del núcleo pero no ortogonal a todos los demás vectores equilibrados en la capa media del conjunto potencia. Este vector se utiliza para definir un marco estándar máximo que incluye los vectores del núcleo pero excluye cualquier obstrucción equilibrada más corta.

Contribuciones Clave y Resultados

• Índice de Incoherencia No Acotado: El artículo demuestra que para cada $k \geq 1$, existe un marco de decisión social estándar máximo $M_k$ cuyo índice de incoherencia es exactamente $2k + 2$. En consecuencia, no existe una cota finita uniforme para el índice de incoherencia de los marcos de decisión social.
• Resolución de la Conjetura 5.7: Este resultado confirma la Conjetura 5.7 de Moss y Pedersen (2026), demostrando que el esquema de coherencia requerido para caracterizar las mayorías medibles no puede truncarse a un conjunto finito de instancias.
• Construcción Explícita de la Capa Media: La construcción proporciona una secuencia infinita explícita de tamaños de universo ($2n_k = \binom{2k+2}{k+1}$) que satisfacen las propiedades predichas por la Conjetura B.25. Específicamente, construye una familia libre de complementos en la capa media (subconjuntos de tamaño $n_k$) que contiene una subfamilia equilibrada de tamaño $2k+2$ pero ninguna subfamilia equilibrada de tamaños $2, 4, \dots, 2k$.
• No Axiomatizabilidad Finita: Al combinar el resultado de la no acotación con el teorema de corrección y completitud para la lógica mínima de Moss-Pedersen, los autores establecen que la clase de marcos de decisión social medibles no es finitamente axiomatizable en el lenguaje de Moss-Pedersen. Cualquier conjunto finito de sentencias solo capturaría instancias de coherencia hasta una longitud finita $M$, dejando al marco construido $M_k$ (con un índice $2k+2 > M$) como un contraejemplo que satisface los axiomas finitos pero falla en su representabilidad.

Significancia
El artículo afirma que la complejidad inherente del razonamiento de mayoría estricta es una realidad combinatoria profunda embebida en la geometría de los espacios vectoriales finitos, más que un mero artefacto de la teoría de la medida. Mientras que Moss y Pedersen (2026) establecieron que la representabilidad está caracterizada por la coherencia, este trabajo demuestra que la frontera entre los marcos representables y no representables tiene una complejidad finita no acotada. Cada obstrucción a la representabilidad es finita, pero no existe un techo finito para la longitud de la obstrucción requerida.

Los autores señalan que su construcción geométrica produce un tamaño de electorado que escala exponencialmente con el índice ($O(4^k/\sqrt{k})$), mientras que el enfoque combinatorio de Blanco (2026) logra un escalamiento cuadrático. Sin embargo, el enfoque geométrico se presenta como un mecanismo autónomo derivado de primeros principios, aislando una familia simétrica de bloques de votación de mitad de tamaño y extendiéndola a un marco máximo donde toda obstrucción equilibrada más corta es excluida. Esto confirma que la infinitud del esquema de coherencia en la lógica de Moss-Pedersen es ineludible.