Measurable Majorities Are Not Finitely Axiomatizable

Résumé Technique : Les Majorités Mesurables ne sont pas Finiement Axiomatisables

Énoncé du Problème
L'article étudie l'axiomatisation finie du raisonnement de la majorité stricte au sein de cadres de décision sociale finis. Plus précisément, il examine si le critère de cohérence caractérisant quand les jugements de majorité qualitative sont représentables par une mesure faiblement additive peut être remplacé, dans le cadre fini, par un fragment fini borné. La question centrale est de savoir si l'« indice d'incohérence » — la longueur minimale d'une séquence de blocs de vote requise pour exposer une contradiction structurelle (incohérence) — est uniformément borné à travers tous les cadres finis. Ce problème résout la Conjecture 5.7 de Moss et Pedersen (2026), qui postulait qu'un tel bornage fini uniforme n'existe pas.

Méthodologie
Les auteurs fournissent une preuve purement géométrique de l'indéterminabilité de l'indice d'incohérence, offrant une alternative à l'approche combinatoire récente de Blanco (2026). La méthodologie procède comme suit :

1. Cartographie Géométrique : L'étude cartographie directement les propriétés de sélection de sous-ensembles dans la géométrie des espaces vectoriels rationnels ($\mathbb{Q}^{W_k}$). Les sous-ensembles sont représentés par des vecteurs indicateurs bipolaires ($x_A \in \{-1, 1\}^{W_k}$), où la condition d'une séquence « parfaitement équilibrée » (couvrant l'univers exactement $m/2$ fois) se traduit par une condition de somme nulle ($\sum x_{A_i} = 0$).
2. Construction du Noyau : Pour un entier $k \geq 1$ fixé, les auteurs construisent un univers spécifique de votants $W_k$ consistant en tous les sous-ensembles de taille $(k+1)$ d'un ensemble de base $V_k = \{1, \dots, 2k+2\}$. La taille de cet univers est le coefficient binomial central $\binom{2k+2}{k+1}$.
3. Blocs Dictateurs et Indépendance Linéaire : Un « noyau » de $2k+2$ « blocs dictateurs » est défini, où chaque bloc contient tous les votants possédant un élément de base spécifique. Les auteurs prouvent que toute séquence non vide parfaitement équilibrée formée exclusivement de ces blocs doit avoir une longueur qui est un multiple de $2k+2$. Cela établit une borne inférieure sur la longueur de toute violation potentielle de cohérence dérivée de ce noyau.
4. Séparation de Vecteurs Génériques : En utilisant un « Lemme de l'Union Finie » (Bia lynicki-Birula et al., 1959), les auteurs construisent un vecteur rationnel générique $u^*_k$ qui est orthogonal à l'espace linéaire des vecteurs du noyau mais non orthogonal à tous les autres vecteurs équilibrés de la couche intermédiaire de l'ensemble des parties. Ce vecteur est utilisé pour définir un cadre standard maximal qui inclut les vecteurs du noyau mais exclut tout obstacle équilibré plus court.

Contributions Clés et Résultats

• Indice d'Incohérence Non Borné : L'article prouve que pour tout $k \geq 1$, il existe un cadre de décision sociale standard maximal $M_k$ dont l'indice d'incohérence est exactement $2k + 2$. Par conséquent, il n'existe pas de borne finie uniforme sur l'indice d'incohérence des cadres de décision sociale.
• Résolution de la Conjecture 5.7 : Ce résultat confirme la Conjecture 5.7 de Moss et Pedersen (2026), démontrant que le schéma de cohérence requis pour caractériser les majorités mesurables ne peut être tronqué à un ensemble fini d'instances.
• Construction Explicite de la Couche Intermédiaire : La construction fournit une séquence explicite infinie de tailles d'univers ($2n_k = \binom{2k+2}{k+1}$) satisfaisant les propriétés prédites par la Conjecture B.25. Plus précisément, elle construit une famille sans complément dans la couche intermédiaire (sous-ensembles de taille $n_k$) qui contient une sous-famille équilibrée de taille $2k+2$ mais aucune sous-famille équilibrée de tailles $2, 4, \dots, 2k$.
• Non-Axiomatisabilité Finie : En combinant le résultat de l'indéterminabilité avec le théorème de correction et de complétude pour la logique minimale de Moss-Pedersen, les auteurs établissent que la classe des cadres de décision sociale mesurables n'est pas finiement axiomatisable dans le langage de Moss-Pedersen. Tout ensemble fini de phrases ne capturerait que des instances de cohérence jusqu'à une certaine longueur finie $M$, laissant le cadre construit $M_k$ (avec un indice $2k+2 > M$) comme contre-exemple qui satisfait les axiomes finis mais échoue à la représentabilité.

Signification
L'article affirme que la complexité inhérente au raisonnement de la majorité stricte est une réalité combinatoire profonde ancrée dans la géométrie des espaces vectoriels finis, plutôt qu'un simple artefact de la théorie de la mesure. Si Moss et Pedersen (2026) ont établi que la représentabilité est caractérisée par la cohérence, ce travail démontre que la frontière entre les cadres représentables et non représentables possède une complexité finie non bornée. Chaque obstacle à la représentabilité est fini, mais il n'existe pas de plafond fini sur la longueur de l'obstacle requis.

Les auteurs notent que leur construction géométrique produit un effectif de l'électorat qui croît exponentiellement avec l'indice ($O(4^k/\sqrt{k})$), alors que la preuve combinatoire de Blanco (2026) atteint une croissance quadratique. Cependant, l'approche géométrique est présentée comme un mécanisme autonome dérivé des premiers principes, isolant une famille symétrique de blocs de vote de moitié de taille et l'étendant à un cadre maximal où tout obstacle équilibré plus court est exclu. Cela confirme que l'infinitude du schéma de cohérence dans la logique de Moss-Pedersen est inévitable.