Fujita-type blow-up for inhomogeneous semilinear heat equations with regularly varying forcing

Resumen Técnico: Explosión de Tipo Fujita para Ecuaciones de Calor Semilineales Inhomogéneas con Forzamiento de Variación Regular

Planteamiento del Problema
El artículo investiga la inexistencia de soluciones débiles no negativas globales para la ecuación de calor semilineal inhomogénea:
$$\partial_t u - \Delta u = |u|^p + w(x), \quad (t, x) \in (0, \infty) \times \mathbb{R}^N,$$
con datos iniciales $u(0, \cdot) = u_0$. El enfoque se centra en el fenómeno de "explosión" (blow-up), definido aquí como la inexistencia de soluciones débiles globales en el tiempo. Mientras que la teoría clásica de Fujita ($w \equiv 0$) establece un exponente crítico $p_F = 1 + 2/N$, y el caso forzado con forzamiento integrable ($w \in L^1$) fue abordado por Bandle, Levine y Zhang, estos marcos fallan cuando el término de forzamiento es no integrable, anisotrópico o crece en el infinito. Los autores pretenden reemplazar la hipótesis clásica de integrabilidad con una condición cuantitativa sobre la masa espacial del término de forzamiento.

Metodología
El motor técnico central es el método de la función de prueba de Mitidieri–Pohozaev, combinado con la teoría de la variación regular (teoría de Karamata).

1. Construcción de la Función de Prueba: Los autores emplean una familia específica de funciones de prueba $\psi_T(t, x) = f(t/T)^{p'} g(|x|^2/T)^{2p'}$ (y variantes anisotrópicas) para derivar desigualdades integrales. Al aplicar la desigualdad de Young y absorber términos, establecen una cota superior sobre la integral del término de forzamiento contra la función de prueba, escalando como $T^{1 + N/2 - p'}$.
2. Marco de Variación Regular: En lugar de asumir que $w \in L^1$, los autores analizan la función de masa espacial $F(R) = \int_{|x| \le R} w(x) \, dx$. Reemplazan las cotas inferiores cualitativas con la suposición de que $F$ pertenece a la clase de las funciones de variación regular ($RV_\gamma$), lo que significa que $F(R) = R^\gamma L(R)$ donde $L$ es una función de variación lenta.
3. Mecanismo de Contradicción: La demostración procede por contradicción. Si existe una solución global, la cota inferior derivada de la condición de masa (escalando como $T^{\gamma/2} L(\sqrt{T})$) debe ser compatible con la cota superior. Los autores muestran que, para un $p$ subcrítico, los exponentes de $T$ conducen a una contradicción cuando $T \to \infty$. En el exponente crítico, el factor de variación lenta $L(R)$ determina el resultado; si $L(R) \to \infty$, surge una contradicción, mientras que si $L(R)$ es acotado o decreciente, el método permanece "silente".

Contribuciones Clave y Resultados

1. Teorema Maestro de Explosión (Teorema 3.4)
El artículo establece un criterio de explosión unificado basado en el índice $\gamma$ de la masa de variación regular $F(R)$.

• Rango Subcrítico: Si $F(R)$ satisface una cota inferior cuantitativa (ya sea $\liminf R^{-\gamma}F(R) > 0$ o $F \in RV_\gamma$), no existe solución global para $1 < p < p_F(\gamma)$, donde:
  $$p_F(\gamma) = \begin{cases} \frac{N-\gamma}{N-\gamma-2} & \text{si } \gamma < N-2, \\ \infty & \text{si } \gamma \ge N-2. \end{cases}$$
• Caso Crítico: Si $F \in RV_\gamma$ con un factor de variación lenta $L(R) \to \infty$, la explosión ocurre incluso en el exponente crítico $p = p_F(\gamma)$.
• Generalidad: Este marco recupera el resultado clásico de $L^1$ ($\gamma=0$) y lo extiende a forzamientos con masa infinita (por ejemplo, $w(x) \sim |x|^{-(N-\gamma)}$).

2. Agudeza de las Hipótesis (Proposición 4.1)
Los autores demuestran que la condición de $\liminf$ en la hipótesis de crecimiento de la masa no puede ser reemplazada por $\limsup$. Construyen un término de forzamiento con la masa concentrada en anillos separados por escalas super-exponenciales tales que $\limsup R^{-\gamma}F(R) > 0$ pero $\liminf R^{-\gamma}F(R) = 0$. Para tales forzamientos, la condición de variación regular falla, y el resultado de explosión no se sostiene en todo el rango subcrítico, resaltando la necesidad de la estructura de variación regular.

3. Variación Regular de Operadores y Anisotropía (Teorema 7.1)
Para manejar forzamientos con diferentes tasas de escala en diferentes direcciones, el artículo introduce la variación regular de operadores utilizando una matriz de exponente simétrica y definida positiva $E$.

• El exponente crítico se generaliza a $p_F^E = \frac{q}{q - 2\lambda_{\min}}$, donde $q = |E| - \gamma_E$ y $\lambda_{\min}$ es el menor autovalor de $E$.
• Los autores proporcionan un ejemplo (Ejemplo 7.5) donde el criterio anisotrópico es estrictamente más fuerte que cualquier enunciado isotrópico, probando que la geometría del forzamiento puede alterar significativamente el umbral de explosión.

4. Forzamientos con Cambio de Signo y Criterios Tauberianos (Teorema 6.7)
El marco se extiende a forzamientos $w$ que cambian de signo.

• Criterio de Masa Neta: La explosión depende de la masa neta $F(R) = \int_{|x|\le R} w$.
• Transformada de Gauss-Laplace: Un teorema tauberiano permite la verificación de la variación regular de $F(R)$ mediante el comportamiento asintótico de la transformada de Gauss-Laplace $\Lambda_w(s) = \int e^{-s|x|^2}w(x)dx$ cuando $s \to 0^+$. Si la parte negativa de $w$ es de un orden estrictamente menor, los criterios de explosión se aplican a la masa neta.

5. Extensiones a Entornos No Locales y Fraccionarios (Sección 8)
La metodología se adapta a:

• Forzamientos de potencial de Riesz: Donde la fuente es una convolución $I_\sigma g$.
• Laplaciano fraccionario: $\partial_t u + (-\Delta)^s u = |u|^p + w$.
• Funcional de Forzamiento Acumulativo ($\Phi$): Se introduce un formalismo unificado (Teorema 8.7) donde la dicotomía de la explosión viene determinada por la comparación del índice de variación regular $\alpha$ del funcional de forzamiento acumulativo $\Phi(T)$ contra un exponente de la función de prueba $\beta(p)$.

Significación y Reivindicaciones
El artículo afirma proporcionar un marco unificado que trasciende las hipótesis clásicas de integrabilidad de la teoría de Bandle–Levine–Zhang. Al aprovechar la variación regular, los autores:

• Identifican una familia continua de exponentes críticos $p_F(\gamma)$ que dependen de la tasa de crecimiento de la masa del forzamiento.
• Establecen resultados de agudeza, mostrando que las condiciones de crecimiento cualitativo (como $\limsup$) son insuficientes sin el control estructural de la variación regular.
• Extienden la teoría a entornos anisotrópicos y no locales, ofreciendo una descripción de los umbrales de explosión que tiene en cuenta la escala direccional y la difusión fraccionaria.
• Clarifican el papel del factor de variación lenta, mostrando que la amplificación ($L(R) \to \infty$) es suficiente para forzar la explosión en el exponente crítico, un resultado que no es accesible mediante la hipótesis de $\liminf$ clásica por sí sola.

Los autores señalan que, si bien el método de la función de prueba proporciona condiciones suficientes para la inexistencia, la optimalidad de los exponentes derivados (específicamente respecto a la existencia de soluciones globales para datos pequeños en el rango supercrítico) sigue siendo una cuestión abierta en el contexto de estos forzamientos generalizados.