$\lambda_\infty$: A New Mathematical Constant from the Spectral Theory of the Prime LCM Matrix

Resumen Técnico: $\lambda_\infty$: Una Nueva Constante Matemática de la Teoría Espectral de la Matriz del MCM de Primos

Planteamiento del Problema
Este artículo introduce y analiza rigurosamente una nueva constante matemática, denominada $\lambda_\infty$, que surge de la teoría espectral de matrices infinitas indexadas por números primos. Específicamente, la constante se define como la solución única de la ecuación:
$$h(x) := \sum_{p \text{ primo}} \frac{1}{x p^2 - p + 1} = 1$$
dentro del dominio $x \in (1/4, +\infty)$. La ecuación surge como la ecuación secular del radio espectral de la matriz infinita "del MCM de primos" $L$, donde las entradas se definen como $L[p_i, p_j] = 1/\text{mcm}(p_i, p_j)$. El artículo busca establecer la existencia y unicidad de esta raíz, caracterizar su significado espectral y calcular su valor con alta precisión.

Metodología
Los autores emplean una combinación de teoría analítica de números, teoría de operadores y computación numérica de alta precisión:

1. Propiedades Analíticas: Se demuestra que la función $h(x)$ es real-analítica, estrictamente decreciente y estrictamente convexa en $(1/4, +\infty)$. El dominio está determinado por el requisito de que todos los denominadores $xp^2 - p + 1$ permanezcan positivos, siendo la singularidad en $x=1/4$ impulsada por el término $p=2$.
2. Expansión de Series: Se deriva una expansión de serie de potencias en $1/x$: $h(x) = \sum_{k=0}^\infty Q_k x^{-(k+1)}$. Los coeficientes $Q_k$ se expresan explícitamente mediante la función zeta de los primos $P(s) = \sum_p p^{-s}$ utilizando expansiones binomiales. Esta expansión facilita la computación eficiente mediante el método de Newton–Raphson con correcciones de cola geométrica.
3. Caracterización Espectral: La matriz $L$ se descompone como $L = D + vv^T$, donde $D$ es un operador diagonal con norma $1/4$ y $v = (1/p)_{p \in \mathbb{P}}$. Utilizando el teorema de entrelazamiento de perturbación de rango uno y las propiedades de los operadores autoadjuntos compactos, los autores demuestran que el radio espectral $\rho(L)$ coincide exactamente con la raíz única $\lambda_\infty$ de $h(x)=1$.
4. Verificación Numérica: La constante se calcula a 500 dígitos decimales utilizando un algoritmo de Newton–Raphson. Para asegurar el rigor, se realizaron seis ejecuciones computacionales independientes, incluyendo:
   • Variaciones en los parámetros (cortes de primos $p_{\max}$ y términos de cola $K$).
   • Independencia algorítmica (usando mpmath, python-flint/Arb y PARI-GP).
   • Una recomputación totalmente independiente usando la inversión de Möbius para $P(s)$ en PARI-GP.
   • Un certificado de aritmética de intervalos verificable por máquina utilizando la biblioteca Arb, que proporciona límites de error rigurosos sin depender de supuestos de punto flotante.

Contribuciones Clave y Resultados

• Definición y Unicidad: El artículo establece que $h(x)=1$ tiene una solución única $\lambda_\infty \approx 0.674036183193696139936660007576508455780\dots$ (OEIS A396695).
• Identidad Espectral: El Teorema 5.4 identifica a $\lambda_\infty$ como el radio espectral de la matriz infinita del MCM de primos $L$. Esto la distingue del límite espectral de la matriz estándar de divisores primos (que converge a $P(2) \approx 0.4522$). El desplazamiento de $P(2)$ a $\lambda_\infty$ se atribuye a la estructura algebraica específica de la función MCM ($\text{mcm}(p,p)=p$ en lugar de $p^2$), lo que introduce la corrección lineal $-p+1$ en el denominador.
• Comportamiento Asintótico: El artículo deriva la expansión asintótica de $h(x)$ cuando $x \to \infty$, mostrando que el término principal es $P(2)/x$.
• Computación de Alta Precisión: Los autores calculan 500 dígitos decimales certificados de $\lambda_\infty$. La computación está respaldada por límites de error rigurosos, incluyendo un análisis de error de la expansión de la cola y un certificado de intervalo formal de Arb que cubre 505 dígitos.
• Naturaleza Algebraica: Se realizaron búsquedas extensas utilizando los algoritmos PSLQ y LLL para encontrar relaciones enteras entre $\lambda_\infty$ y un catálogo de constantes clásicas (incluyendo $\pi, e, \zeta(s), P(s)$, etc.) o polinomios mínimos de grado $\le 8$. No se encontraron tales relaciones, aunque el artículo no pretende probar la irracionalidad o trascendencia.

Significado y Reivindicaciones
El artículo posiciona a $\lambda_\infty$ como un homólogo indexado por primos de la identidad clásica $\lambda_{\max}(M_N)/N \to \zeta(2) = \pi^2/6$ para la matriz de divisores de enteros. Mientras que el caso de los enteros se relaciona con la función zeta de Riemann, el caso de los primos se relaciona con la función zeta de los primos y las propiedades espectrales específicas de la matriz del MCM.

Los autores enmarcan modestamente la significancia del trabajo como:

1. Teórica: Proporcionar una caracterización espectral rigurosa de un operador de matriz infinente específico e identificar su radio espectral como una nueva constante definida por una ecuación trascendente indexada por primos.
2. Computacional: Demostrar una metodología robusta para computar constantes definidas por series de primos a alta precisión, completa con verificación independiente y certificación de aritmética de intervalos.
3. Preguntas Abiertas: El artículo establece explícitamente que la naturaleza algebraica de $\lambda_\infty$ (irracionalidad, trascendencia o representación en forma cerrada) sigue siendo un problema abierto. No propone nuevas aplicaciones o propuestas experimentales, sino que añade una nueva entrada al catálogo de constantes matemáticas con un valor numérico verificado y una definición clara.