On perturbations that preserve the connectivity properties in tree percolations

Resumen Técnico: Sobre perturbaciones que preservan las propiedades de conectividad en percolaciones en árboles

Planteamiento del problema
Este artículo investiga la estabilidad de las propiedades de conectividad en modelos generales de percolación de enlaces definidos en árboles infinitos y localmente finitos. Específamente, los autores examinan cómo se ven afectadas la existencia (o ausencia) de cúmulos infinitos cuando las probabilidades de retención de aristas $p_e$ son sometidas a perturbaciones dependientes del nivel. La perturbación reemplaza la probabilidad original $p_e$ por $\min\{1, q_{|e|}p_e\}$, donde $\{q_n\}_{n \ge 1}$ es una sucesión de factores positivos y $|e|$ denota la distancia del grafo desde la raíz.

El estudio aborda dos regímenes distintos:

1. Estabilidad de la ausencia: Si el modelo original no admite cúmulos infinitos ($P_p(I)=0$), ¿bajo qué condiciones sobre las perturbaciones $q_n \ge 1$ (que aumentan la conectividad) el sistema permanece carente de cúmulos infinitos?
2. Estabilidad de la existencia: Si el modelo original admite cúmulos infinitos (específicamente, cúmulos de frontera no contables con probabilidad positiva), ¿bajo qué condiciones sobre las perturbaciones $0 < q_n \le 1$ (que reducen la conectividad) se preserva la existencia de cúmulos infinitos?

Los autores señalan que las perturbaciones triviales (donde el producto $\prod q_n$ converge a un límite finito no nulo) simplemente reescalan las probabilidades, mientras que los casos "verdaderamente interesantes" involucran perturbaciones divergentes donde $\prod q_n = 0$ (reducción acumulativa) o $\prod q_n = \infty$ (aumento acumulativo). Contraejemplos simples demuestan que la estabilidad no está garantizada en general sin condiciones estructurales específicas sobre el árbol o el modelo de percolación.

Metodología
Las demostraciones se basan fuertmente en la caracterización por capacidad de Lyons para la percolación en árboles, un resultado de la teoría de potencial discreta. La metodología central consiste en:

• Capacidad y Energía: Utilizar la relación entre la probabilidad de percolación hacia un conjunto $E \subseteq \partial T$ y la capacidad del conjunto, $capp(E)$. Esta capacidad se define mediante un funcional de energía $E_p(\mu)$ asociado a una función de medida $\Psi_p(x) = 1/P_p[o \to x]$.
• Teorema de Lyons: Aplicar la desigualdad $capp(E) \le P_p[o \to E] \le 2capp(E)$, que vincula la conectividad probabilística con la capacidad de la teoría del potencial.
• Análisis de Perturbación: Analizar cómo cambia el funcional de energía bajo las probabilidades perturbadas $q p$. Los autores construyen sucesiones de perturbación específicas $\{q_n\}$ y demuestran que la finitud del funcional de energía (y, por tanto, la positividad de la capacidad) se preserva bajo ciertas condiciones divergentes.
• Lemas Auxiliares: La demostración emplea lemas elementales sobre sucesiones sumables para construir sucesiones estrictamente crecientes $\{Q_n\}$ (relacionadas con el producto acumulado de $q_n$) que aseguran la convergencia del funcional de energía perturbado.

Contribuciones Clave y Resultados
El artículo presenta el Teorema A, que establece la robustez de los regímenes percolativos bajo supuestos mínimos:

1. Estabilidad en la Ausencia de Cúmulos Infinitos (Parte i):
   Si el modelo original no tiene cúmulos infinitos casi seguramente, y la sucesión de perturbación $q_n \ge 1$ satisface la condición:
   $$\liminf_{n \to \infty} \left( \prod_{i=1}^n q_i \right) \cdot P_p[o \to V_n] = 0$$
   (donde $V_n$ es el conjunto de vértices a distancia $n$), entonces el modelo perturbado tampoco tiene cúmulos infinitos casi seguramente. Los autores muestran que tal sucesión de perturbación siempre existe incluso si $\prod q_n = \infty$.

2. Estabilidad de Cúmulos No Contables (Parte ii):
   Si el modelo original tiene un cúmulo de frontera no contable con probabilidad positiva ($P_p[o \xrightarrow{u} \partial T] > 0$), existe una sucesión de perturbación $q_n \in (0, 1)$ tal que $\lim_{n \to \infty} q_n = 1$ y la existencia casi segura de un cúmulo no contable se preserva.

   • Necesidad de las Condiciones: El artículo señala que la condición de tener un cúmulo no contable es necesaria; si el cúmulo es contable (por ejemplo, un solo rayo), las perturbaciones de reducción divergente pueden destruir la percolación (como se muestra en el Ejemplo 1.1).
   • Caso Homogéneo: Para la percolación homogénea ($p_e = p$), si el modelo perturbado percola, los autores derivan una condición necesaria que involucra el número de ramificación del árbol y los factores de perturbación:
     $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1 - q_n p}{p^n (\# E_n) \prod_{i=1}^n q_i} < \infty$$
     donde $\# E_n$ es el número de vértices en el nivel $n$.

Significancia y Aplicaciones
Los autores afirman que sus resultados demuestran que el régimen percolativo es "bastante robusto" frente a perturbaciones divergentes no triviales, siempre que el sistema subyacente no sea "frágil" (es decir, que no dependa de un solo rayo).

Una aplicación primaria discutida es la del conjetura de similitud de Erdős para conjuntos de Cantor. Al codificar un conjunto de Cantor $C \subset [0, 1]$ como un subárbol $T_C$ del árbol dioico, los autores utilizan el Teorema A (ii) para construir una sucesión de pesos dependientes del nivel $\{q_n\}$ (con $\prod q_n = 0$) tales que la percolación perturbada en el árbol que codifica cualquier copia afín $\lambda C + t$ retiene una probabilidad positiva de conectarse con la frontera.

• Esto conduce al Corolario 4.2, que establece que para cualquier conjunto de Cantor $C$, existe un conjunto $B$ de medida de Lebesgue cero tal que $B \cap (\lambda C + t) \neq \emptyset$ para casi todos los $\lambda, t$.
• El artículo posiciona esto como una vía potencial para estudiar el problema de similitud de Erdős, señalando que, si bien se establece la "magnitud" de la intersección, la continuidad de esta propiedad con respecto a $(\lambda, t)$ sigue siendo una cuestión abierta para una resolución completa de la conjetura.

El trabajo se distingue por su uso de caracterizaciones de la teoría del potencial para proporcionar demostraciones concisas con gran generalidad, evitando métodos combinatorios más elementales pero más laboriosos.