On perturbations that preserve the connectivity properties in tree percolations

Résumé technique : Sur les perturbations qui préservent les propriétés de connectivité dans les percolations sur arbres

Énoncé du problème
Cet article étudie la stabilité des propriétés de connectivité dans les modèles généraux de percolation de liens définis sur des arbres infinis et localement finis. Plus précisément, les auteurs examinent comment l'existence (ou l'absence) de clusters infinis est affectée lorsque les probabilités de rétention des arêtes $p_e$ sont soumises à des perturbations dépendantes du niveau. La perturbation remplace la probabilité originale $p_e$ par $\min\{1, q_{|e|}p_e\}$, où $\{q_n\}_{n \ge 1}$ est une suite de facteurs positifs et $|e|$ désigne la distance du graphe de l'arête par rapport à la racine.

L'étude aborde deux régimes distincts :

1. Stabilité de l'absence : Si le modèle original n'admet aucun cluster infini ($P_p(I)=0$), sous quelles conditions des perturbations $q_n \ge 1$ (qui renforcent la connectivité) maintiennent-elles le système dépourvu de clusters infinis ?
2. Stabilité de l'existence : Si le modèle original admet des clusters infinis (spécifiquement, des clusters de frontière non dénombrables avec une probabilité positive), sous quelles conditions l'existence de clusters infinis persiste-t-elle face à des perturbations $0 < q_n \le 1$ (qui amincissent la connectivité) ?

Les auteurs notent que si les perturbations triviales (où le produit $\prod q_n$ converge vers une limite finie non nulle) ne font que rescaler les probabilités, les cas « véritablement intéressants » impliquent des perturbations divergentes où $\prod q_n = 0$ (amincissement cumulatif) ou $\prod q_n = \infty$ (renforcement cumulatif). Des contre-exemples simples démontrent que la stabilité n'est pas garantie en général sans conditions structurelles spécifiques sur l'arbre ou sur le modèle de percolation.

Méthodologie
Les preuves reposent largement sur la caractérisation par la capacité de Lyons de la percolation sur les arbres, un résultat de la théorie potentielle discrète. La méthodologie centrale implique :

• Capacité et Énergie : L'utilisation de la relation entre la probabilité de percolation vers un ensemble $E \subseteq \partial T$ et la capacité de cet ensemble, $capp(E)$. Cette capacité est définie via une fonctionnelle d'énergie $E_p(\mu)$ associée à une fonction de jauque $\Psi_p(x) = 1/P_p[o \to x]$.
• Théorème de Lyons : L'application de l'inégalité $capp(E) \le P_p[o \to E] \le 2capp(E)$, qui lie la connectivité probabiliste à la capacité de la théorie potentielle.
• Analyse de perturbation : L'analyse de la façon dont la fonctionnelle d'énergie change sous les probabilités perturbées $q p$. Les auteurs construisent des séquences de perturbation spécifiques $\{q_n\}$ et démontrent que la finitude de la fonctionnelle d'énergie (et donc la positivité de la capacité) est préservée sous certaines conditions divergentes.
• Lemmes auxiliaires : La preuve emploie des lemmes élémentaires concernant les suites sommables pour construire des suites strictement croissantes $\{Q_n\}$ (liées au produit cumulé de $q_n$) qui assurent la convergence de la fonctionnelle d'énergie perturbée.

Contributions clés et résultats
L'article présente le Théorème A, qui établit la robustesse des régimes percolatifs sous des hypothèses minimales :

1. Stabilité dans l'absence de clusters infinis (Partie i) :
   Si le modèle original n'a presque sûrement aucun cluster infini, et que la séquence de perturbation $q_n \ge 1$ satisfait la condition :
   $$\liminf_{n \to \infty} \left( \prod_{i=1}^n q_i \right) \cdot P_p[o \to V_n] = 0$$
   (où $V_n$ est l'ensemble des sommets à la distance $n$), alors le modèle perturbé n'a également presque sûrement aucun cluster infini. Les auteurs montrent qu'une telle séquence de perturbation existe toujours, même si $\prod q_n = \infty$.

2. Stabilité des clusters non dénombrables (Partie ii) :
   Si le modèle original possède un cluster de frontière non dénombrable avec une probabilité positive ($P_p[o \xrightarrow{u} \partial T] > 0$), il existe une séquence de perturbation $q_n \in (0, 1)$ telle que $\lim_{n \to \infty} q_n = 1$ et que l'existence presque sûre d'un cluster non dénombrable est préservée.

   • Nécessité des conditions : Le papier note que la condition de posséder un cluster non dénombrable est nécessaire ; si le cluster est dénombrable (par exemple, un rayon unique), des perturbations d'amincissement divergentes peuvent détruire la percolation (comme le montre l'Exemple 1.1).
   • Cas homogène : Pour la percolation homogène ($p_e = p$), si le modèle perturbé percole, les auteurs dérivent une condition nécessaire impliquant le nombre de branchement de l'arbre et les facteurs de perturbation :
     $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1 - q_n p}{p^n (\# E_n) \prod_{i=1}^n q_i} < \infty$$
     où $\# E_n$ est le nombre de sommets au niveau $n$.

Signification et applications
Les auteurs affirment que leurs résultats démontrent que le régime percolatif est « plutôt robuste » face à des perturbations divergentes non triviales, à condition que le système sous-jacent ne soit pas « fragile » (c'est-à-dire ne dépendant pas d'un rayon unique).

Une application primaire discutée s'applique à la conjecture de similitude d'Erdős pour les ensembles de Cantor. En encodant un ensemble de Cantor $C \subset [0, 1]$ comme un sous-arbre $T_C$ de l'arbre dyadique, les auteurs utilisent le Théorème A (ii) pour construire une séquence de poids dépendant du niveau $\{q_n\}$ (avec $\prod q_n = 0$) telle que la percolation perturbée sur l'arbre codant toute copie affine $\lambda C + t$ conserve une probabilité positive de se connecter à la frontière.

• Cela mène au Corollaire 4.2, qui stipule que pour tout ensemble de Cantor $C$, il existe un ensemble $B$ de mesure de Lebesgue nulle tel que $B \cap (\lambda C + t) \neq \emptyset$ pour presque tout $\lambda, t$.
• Le papier positionne cela comme une avenue potentielle pour l'étude du problème de similitude d'Erdős, notant que bien que la « grandeur » de l'intersection soit établie, la continuité de cette propriété par rapport à $(\lambda, t)$ reste une question ouverte pour une résolution complète de la conjecture.

Le travail se distingue par son utilisation des caractérisations de la théorie potentielle pour fournir des preuves concises avec une grande généralité, évitant ainsi des méthodes combinatoires plus élémentaires mais plus lourdes.