Variance of the $SIS$ Epidemic on Networks: A Diffusion Approximation

Resumen Técnico: Varianza de la Epidemia SIS en Redes mediante Aproximación de Difusión

Planteamiento del Problema
Los modelos matemáticos de epidemias en redes suelen apoyarse en Leyes de los Números Grandes Funcionales (FLLN, por sus siglas en inglés) para describir la trayectoria de media de campo de la propagación de la infección a medida que el tamaño de la red $N$ crece. Aunque estos límites deterministas (Ecuaciones Diferenciales Ordinarias) predicen con precisión el comportamiento promedio, no logran capturar las fluctuaciones estocásticas inherentes a las poblaciones finitas. Estas fluctuaciones son críticas para cuantificar la incertidumbre en los pronósticos, estimar las probabilidades de extinción y diseñar estrategias de control conscientes del riesgo.

Crucialmente, la varianza de una epidemia está gobernada por estadísticas de red distintas a las de la media. Mientras que la prevalencia media en la fase de crecimiento temprano depende de los dos primeros momentos de la distribución de grados, la varianza depende de los tres primeros momentos (incluyendo la asimetría o skewness). Aunque existe un Teorema Funcional de la Ley de los Grandes Números (FCLT) riguroso para el proceso Susceptible-Infectado (SI) en grafos de modelo de configuración, no existe un marco de varianza de forma cerrada análogo para el modelo Susceptible-Infectado-Susceptible (SIS). El proceso SIS es más complejo porque la recuperación reintroduce a los vértices en el grupo de susceptibles con vecindarios parcialmente conocidos y dependientes de la historia, lo que rompe las suposiciones de "vecindario limpio" que permiten derivaciones exactas de FCLT en el caso SI. Los análisis estocásticos existentes de SIS se han centrado principalmente en la distribución cuasi-estacionaria en el régimen endémico, en lugar de en la evolución temporal completa de las fluctuaciones.

Metodología
Los autores desarrollan una aproximación de varianza tratable para el proceso SIS markoviano en grafos de modelo de configuración combinando dos marcos de trabajo:

1. Ecuación Maestra Aproximada (AME): Utilizando el marco de Gleeson para rastrear la evolución determinista de las variables de estado resueltas por grado y vecindad (específicamente, las fracciones de vértices susceptibles e infectados con grado $k$ y $m$ vecinos infectados).
2. Expansión de Tamaño de Sistema de Van Kampen: Aplicando una aproximación de difusión donde el vector de conteo estocástico $X(t)$ se descompone en una trayectoria media determinista $\phi(t)$ y un término de fluctuación $\zeta(t)$ escalado por $\sqrt{N}$:
   $$X(t) = N\phi(t) + \sqrt{N}\zeta(t)$$

Los autores definen un vector de estado reducido de tres dimensiones que rastrea los conteos de vértices susceptibles ($X_S$), aristas susceptibles-infectadas ($X_{SI}$) y aristas susceptibles-susceptibles ($X_{SS}$). La evolución de la matriz de covarianza $C(t)$ de las fluctuaciones está gobernada por una ecuación diferencial matricial lineal (Langevin/Lyapunov):
$$\dot{C} = JC + CJ^T + B$$
donde $J$ es el Jacobiano del drift (deriva) determinista y $B$ es la matriz de difusión (ruido) derivada de las tasas de eventos de infección y recuperación.

Aproximaciones Clave y Contribuciones
Para cerrar el sistema y expresar las matrices de drift y difusión únicamente en términos de las variables reducidas ($X_S, X_{SI}, X_{SS}$), el artículo introduce aproximaciones específicas:

• Cierre de Muestreo de Vecindario: Los autores aproximan la distribución de vecinos infectados para un vértice susceptible, $P(m|S, k)$, utilizando una expresión hipergeométrica. Esto asume que, debido a los frecuentes eventos de recuperación y reinfección, las correlaciones locales del vecindario de un vértice susceptible se decorrelacionan de su historial de infección, comportándose efectivamente como un nuevo muestreo aleatorio del conjunto global de semiedos (half-edges). Esto refleja la condición exacta para SI, pero es una aproximación para SIS.
• Factores Estructurales ($\kappa$): El cierre introduce factores estructurales $\kappa^{(r)}_S$ y $\kappa^{(r)}_I$, que representan los números esperados normalizados de motivos de tipo $r$-estrella centrados en vértices susceptibles o infectados. Estos factores incorporan explícitamente momentos de orden superior (hasta el tercer momento) de la distribución de grados en el cálculo de la varianza.
• Negligencia de Derivadas: Los autores tratan el factor de cuña centrado en el susceptible $\kappa^{(2)}_S$ como un coeficiente dependiente del tiempo suministrado por la solución AME, desestimando sus derivadas con respecto a las variables reducidas en el Jacobiano. La validación en procesos SI sugiere que esta contribución de la derivada es despreciable.

Resultados
La aproximación AME-Langevin propuesta fue validada frente a simulaciones estocásticas de Gillespie a través de diversas topologías de red y parámetros epidemiológicos:

• Redes de Poisson: La aproximación reproduce con precisión el pico transitorio y la varianza de largo plazo de la fracción susceptible a través de un amplio rango de tasas de infección ($\beta$). Las discrepancias son mínimas, con una ligera subestimación cerca del umbral epidémico.
• Tamaño de la Red: El método funciona bien para tamaños de red de $N=500$ a $N=4000$, con una mejora en el acuerdo absoluto a medida que $N$ aumenta, lo cual es consistente con la naturaleza asintótica de la aproximación de ruido lineal.
• Redes Regulares: Para redes $k$-regulares, la aproximación es exacta respecto al término de la derivada de $\kappa^{(2)}_S$. El acuerdo es generalmente bueno, aunque la teoría sobreestima ligeramente el pico de varianza transitoria para redes dispersas ($k=4$), probablemente debido a correlaciones de dependencia de la historia más fuertes en entornos de bajo grado.
• Redes de Ley de Potencia (Heterogéneas): En redes con alta heterogeneidad de grado (libre de escala), el método captura el tiempo del pico de varianza pero falla en predecir con precisión su magnitud. Los autores atribuyen esto a la "tosquedad" del cierre de muestreo de vecindario cuando hay hubs involucrados, ya que los eventos de infección/recuperación en los hubs generan correlaciones que no están bien representadas por el muestreo del conjunto global.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma proporcionar la primera aproximación de varianza dependiente del tiempo tratable para el proceso SIS en grafos de modelo de configuración que se extiende más allá de la fase de crecimiento temprano.

• Contenido de Información: El marco incorpora explícitamente los momentos de grado de tercer orden (vía $\kappa^{(3)}_S$) en la matriz de difusión, abordando la brecha donde los modelos de campo medio descartan información estructural relevante para la varianza.
• Eficiencia Computacional: Resolver el sistema resultante de la ODE de Langevin de $3 \times 3$ es computacionalmente eficiente, ofreciendo una ventaja significativa sobre la generación de miles de simulaciones de Gillespie para estimar la varianza empíricamente.
• Limitaciones: Los autores señalan modestamente que el método es una aproximación, no un FCLT riguroso. Su precisión disminuye en regímenes donde la suposición de "decorrelación" falla: específicamente en redes dispersas de bajo grado y en redes altamente heterogéneas con hubs, donde la dependencia de la historia local es fuerte.

El trabajo se posiciona como una descripción intermedia útil entre la teoría determinista de campo medio y los grandes conjuntos de simulaciones estocásticas directas, proporcionando una herramienta para cuantificar la incertidumbre en los pronósticos epidémicos en redes.