A Gaussian-Perron Prime-Side Defect and Local Profiles Near Critical-Line Zeros of the Riemann Zeta Function

Resumen Técnico: Un Defecto de Lado de los Primos de tipo Gaussiano–Perron y Perfiles Locales cerca de Ceros en la Línea Crítica

Planteamiento del Problema
El artículo aborda la geometría local de los ceros no triviales de la función zeta de Riemann, $\zeta(s)$, específicamente en las proximidades de un cero seleccionado $\rho_0$. Mientras que la Hipótesis de Riemann (RH) y las propiedades de monotonía horizontal relacionadas se ocupan del comportamiento global de la derivada logarítmica completada $\xi'/\xi$, este trabajo se centra en la construcción de una herramienta de diagnóstico local. El objetivo es aislar la contribución de un solo cero de la "nube" de otros ceros y contribuciones de potencias de primos mediante una fuerza suavizada del lado de los primos. La cuestión central es si se puede construir una aproximación de campo de primos suavizado de tal manera que el defecto entre este campo y la derivada logarítmica real $\zeta'/\zeta$ revele un perfil local universal cerca de un cero de la línea crítica, con todas las contribuciones no seleccionadas exponencialmente suprimidas.

Metodología
El autor introduce un defecto de fuerza de primos Gaussiano–Perron, denotado como $\Delta_{X,\alpha}(s)$, definido como:
$$\Delta_{X,\alpha}(s) = \left(\sigma - \frac{1}{2}\right) \text{Re}\left( P_{X,\alpha}(s) - \frac{\zeta'}{\zeta}(s) \right)$$
donde $P_{X,\alpha}(s)$ es un campo de primos suavizado por una Gaussiana construido mediante una integral de contorno utilizando el núcleo $H_{X,\alpha}(z) = X^z \exp(\alpha^2 Y z^2)$ con $Y = \log X$.

La metodología procede a través de los siguientes pasos analíticos:

1. Representación del Lado de los Primos: Se demuestra que el campo suavizado $P_{X,\alpha}(s)$ corresponde a una suma ponderada sobre potencias de primos, donde los pesos están dados por la función de error complementaria, $WX,\alpha(n) = \frac{1}{2}\text{erfc}\left(\frac{\log n - \log X}{2\alpha\sqrt{Y}}\right)$. Esto proporciona un corte de decaimiento rápido centrado en $n=X$.
2. Desplazamiento de Contorno y Fórmula Explícita: Al desplazar el contorno de la representación integral de $P_{X,\alpha}(s)$ desde $\text{Re}(z) = c$ hacia $\text{Re}(z) = -d$, el autor deriva una fórmula explícita para el defecto. Esta fórmula descompone el defecto en contribuciones de:
   • Ceros no triviales ($\rho$) dentro de la franja $-d < \text{Re}(\rho-s) < c$.
   • El polo en $s=1$.
   • Ceros triviales en enteros pares negativos.
   • Un resto de la integral de contorno desplazado.
3. Escala de Localización: El análisis se realiza en la escala local logarítmica $s = \rho_0 + \lambda / \log X$, donde $\rho_0$ es un cero simple fijo y $\lambda = a + ib$ es un parámetro complejo.
4. Amortiguación Anisotrópica: Una herramienta analítica clave es el funcional de amortiguación Gaussiana $Q_\alpha(\rho'; \rho_0) = \text{Re}(\rho' - \rho_0) + \alpha^2 \text{Re}((\rho' - \rho_0)^2)$. Este funcional determina la tasa de decaimiento exponencial de las contribuciones de los ceros no seleccionados. Los desplazamientos verticales desde $\rho_0$ son amortiguados, mientras que los desplazamientos horizontales pueden aumentar el peso, lo que requiere condiciones geométricas específicas sobre la distribución de los ceros.

Contribuciones Clave y Resultados

• Perfil de Cero Seleccionado Exacto: El artículo deriva una fórmula exacta para la contribución de un solo cero seleccionado $\rho_0$.

  • Caso de la Línea Crítica ($\rho_0 = 1/2 + i\gamma_0$): Bajo el supuesto de que $\rho_0$ es simple y está en la línea crítica, la contribución del cero seleccionado converge a un perfil acotado universal:
    $$L_{\rho_0, X, \alpha}(s) \sim -a \text{Re}\left(\frac{e^{-\lambda}}{\lambda}\right)$$
    donde $a = \text{Re}(\lambda)$. Este perfil es independiente del parámetro de suavizado $\alpha$ en el orden principal.
  • Caso Fuera de la Línea ($\beta_0 \neq 1/2$): Para un hipotético cero fuera de la línea crítica, la contribución escala linealmente con $\log X$, específicamente $O(\log X)$. Esto proporciona una distinción teórica entre ceros críticos y ceros fuera de la crítica dentro de este marco de defecto.

• Teorema de Localización: El resultado principal (Teorema 7.6) establece que, bajo la Hipótesis de Riemann y condiciones de amortiguación específicas, el defecto completo $\Delta_{X,\alpha}(s)$ cerca de un cero de la línea crítica está dominado por el perfil del cero seleccionado, siendo el resto no local (contribuciones de otros ceros, el polo y el contorno) exponencialmente pequeño ($O(e^{-cY})$).

  • Condiciones: El teorema requiere una "condición de amortiguación de polo" (un límite inferior de $\alpha$ relativo a $\gamma_0$) y "regularidad de contorno" (límites para $\zeta'/\zeta$ en la línea desplazada).
  • Implicación de la RH: Asumiendo la RH, la condición de espaciamiento de ceros se satisface automáticamente porque todos los ceros no triviales yacen en la línea $\text{Re}(s)=1/2$, asegurando que $Q_\alpha < 0$ para todo $\rho' \neq \rho_0$.

• Verificación Numérica: La Sección 8 proporciona una verificación numérica directa del defecto del lado de los primos utilizando una suma de potencias de primos truncada. Para el primer cero no trivial, el defecto computado coincide con el perfil del cero seleccionado de finito-$X$ teórico con alta precisión (discrepancia máxima $\approx 3.4 \times 10^{-10}$), validando la derivación analítica en un régimen computable.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma proporcionar un diagnóstico local de la geometría de los ceros asociado a la función zeta de Riemann. A diferencia de trabajos previos que estudian la monotonía global de $|\xi|$ o $\text{Re}(\xi'/\xi)$, este trabajo aísla el comportamiento local de la "fuerza horizontal" cerca de un cero específico.

La significancia radica en:

1. Desacoplamiento: Separar exitosamente la contribución de un solo cero de la suma global de ceros y primos utilizando un núcleo Gaussiano–Perron.
2. Universalidad: Demostrar que el perfil local cerca de un cero de la línea crítica es universal (independiente de $\alpha$ y de la altura del cero específico, siempre que sea simple).
3. Potencial Diagnóstico: El marco sugiere que el defecto $\Delta_{X,\alpha}$ podría servir como una herramienta para detectar desviaciones de la línea crítica (los ceros fuera de la línea exhibirían un crecimiento lineal en $\log X$ en lugar de un perfil acotado), supeditado a la capacidad de controlar el resto no local.

Los autores se mantienen modestos respecto a las aplicaciones, indicando que el análisis es "local y de teoría de defectos" y enfocado en el comportamiento asintótico del defecto dentro del entorno de nivel de la RH. El trabajo no propone nuevos algoritmos para computar ceros ni prueba la Hipótesis de Riemann; más bien, construye un marco teórico para analizar la estructura local de los ceros de la función zeta si estos existieran.