Strictly stable solutions in uniformly convex planar domains may have nonconvex superlevel sets

Resumen Técnico: Las soluciones estrictamente estables en dominios planos uniformemente convexos pueden tener conjuntos supernivel no convexos

Planteamiento del problema
El artículo aborda una pregunta fundamental en la teoría cualitativa de las ecuaciones elípticas semilineales: si la convexidad de un dominio $\Omega \subset \mathbb{R}^2$ fuerza la convexidad de los conjuntos de nivel (o conjuntos supernivel) de las soluciones positivas al problema de Dirichlet:
$$\begin{cases} -\Delta u = f(u) & \text{en } \Omega, \\ u > 0 & \text{en } \Omega, \\ u = 0 & \text{en } \partial\Omega. \end{cases}$$
Específicamente, el artículo investiga si la estabilidad de una solución restaura la convexidad de los conjuntos de nivel para no linealidades prototípicas, tales como la no linealidad de Gelfand $f(u) = e^u$ y las no linealidades de tipo potencia desplazadas $f(u) = (a+u)^p$ ($a>0, p>1$). Mientras que resultados clásicos (por ejemplo, de Makar-Limanov, Brascamp-Lieb y Caffarelli-Friedman) establecieron la cuasiconcavidad para casos específicos (funciones de torsión, primeras funciones propias o ciertas no linealidades cóncavas), y Hamel, Nadirashvili y Sire [22] demostraron que la convexidad falla para no linealidades generales, el estatus de las soluciones mínimas estrictamente estables en dominios uniformemente convexos seguía siendo una pregunta abierta planteada por Brezis [7].

Metodología
El autor construye un contraejemplo utilizando un mecanismo geométrico impulsado por una bifurcación de silla-nodo (pliegue) unidimensional. La metodología procede en tres etapas principales:

1. Análisis del pliegue unidimensional:
   El artículo analiza el problema 1D $-U'' = f(U)$ en un intervalo $(-h, h)$ con $U(\pm h)=0$. Para una no linealidad "admisible para pliegues" (donde el mapa de amplitud $A$ a semi-ancho $h(A)$ posee un pliegue no degenerado), el autor establece que cerca de la amplitud crítica $A_c$ (donde $h'(A_c)=0$), la relación entre el semi-ancho $h$ y la altura $Y_t(h)$ de un conjunto de nivel fijo $t$ exhibe una singularidad de raíz cuadrada. Específicamente, a medida que $h$ se aproxima al ancho crítico $h_c$ desde abajo (a lo largo de la rama estable inferior), la altura se comporta como:
   $$Y_t(h) \approx Y_c - c_t \sqrt{h_c - h}$$
   Esta expansión se deriva utilizando el teorema de la función implícita y las propiedades del operador linealizado en el pliegue.

2. Construcción geométrica del dominio:
   El autor construye un dominio de "canal lento" $\Omega_\epsilon$ que es suave, acotado y uniformemente convexo. El dominio está diseñado para ser largo y delgado, con un ancho $H(X)$ que varía lentamente en la dirección horizontal. La función $H(X)$ se elige para que sea cóncava y varíe ligeramente por debajo del ancho crítico $h_c$. Crucialmente, el autor selecciona un perfil específico $H(X)$ tal que el término $\sqrt{h_c - H(X)}$ (que dicta la altura del conjunto de nivel) sea estrictamente convexo en el punto medio (violando la concavidad requerida para un conjunto supernivel convexo) en un punto medio específico, a pesar de que $H(X)$ en sí mismo es cóncava. Esto se logra explotando la singularidad de la raíz cuadrada: si $D(X) = h_c - H(X)$ es convexo, entonces $-\sqrt{D(X)}$ puede ser estrictamente convexo en el punto medio cerca de un punto donde $D(X)$ es pequeño y positivo.

3. Aproximación analítica y estabilidad:
   Utilizando un argumento de barrera y el principio del máximo, el artículo demuestra que la solución real $u_\epsilon$ en el dominio construido $\Omega_\epsilon$ permanece uniformemente cerca (en $L^\infty$) del perfil 1D formal $V(X, \eta) = U_{H(X)}(\eta)$ a medida que la relación de aspecto del dominio $\epsilon \to 0$.

   • Existencia y minimalidad: Se construye una solución mínima mediante iteración monótona entre la subsolución cero y una supersolución global derivada del perfil 1D en el ancho máximo.
   • Estabilidad estricta: La estabilidad estricta de la solución mínima se establece comparando el operador linealizado 2D con el operador linealizado 1D en la rama inferior. Dado que el operador 1D tiene un hiato espectral positivo en la rama estable, la solución 2D hereda la estabilidad estricta.
   • No convexidad: Se muestra que el error de aproximación $L^\infty$ es $O(\epsilon^2)$, lo cual es insuficiente para corregir la "violación del punto medio" finita en la altura del conjunto de nivel creada por la singularidad de la raíz cuadrada. Por lo tanto, el conjunto supernivel real de la solución mínima estrictamente estable es no convexo.

Contribuciones clave y resultados

• Teorema 1.2: Para cualquier no linealidad $f$ admisible para pliegues, existe un dominio plano suave y uniformemente convexo $\Omega$ y una solución mínima y estrictamente estable $u$ tal que un conjunto supernivel $\{u > t_0\}$ no es convexo.
• Corolario 1.3: Este resultado se aplica específicamente a la no linealidad de Gelfand ($f(u)=e^u$) y a la no linealidad de tipo potencia desplazada ($f(u)=(a+u)^p$ con $a>0, p>1$), proporcionando una respuesta negativa a la pregunta de Brezis respecto a estos casos prototípicos.
• Corolario 3.8: El resultado se extiende a los problemas parametrizados $-\Delta u = \lambda f(u)$, mostrando que la falta de convexidad persiste para las soluciones mínimas estrictamente estables a través del rango de parámetros.
• Verificación de la admisibilidad para pliegues: El artículo verifica explícitamente que $e^u$ y $(a+u)^p$ satisfacen las condiciones estructurales requeridas por el mecanismo de pliegue (Proposiciones 2.10 y 2.11).

Significado y afirmaciones
El artículo afirma proporcionar una respuesta negativa definitiva a la pregunta de si la estabilidad restaura la convexidad de los conjuntos de nivel en dominios uniformemente convexos para las no linealidades estándar.

• Distinción de contraejemplos previos: A diferencia de los contraejemplos previos de Hamel, Nadirashvili y Sire [22] (que dependían de no linealidades especialmente construidas y no convexas) o de Monneau y Shahgholian [37] (que involucraban límites de frontera libre), esta construcción utiliza no linealidades positivas, crecientes y convexas en dominios simplemente conexos, suaves y uniformemente convexos.
• Mecanismo: La no convexidad no se atribuye a la topología, a puntos críticos múltiples o a términos de reacción no monotónicos. En su lugar, surge de la respuesta de raíz cuadrada de la altura del conjunto de nivel cerca de un pliegue unidimensional estable. El artículo argumenta que el pliegue unidimensional "efectivo" domina y anula las propiedades de convexidad del dominio ambiente.
• Soluciones mínimas: El resultado es particularmente fuerte porque se aplica a soluciones mínimas, que son típicamente las configuraciones más "regulares" y estables en la teoría, y estas soluciones demuestran ser estrictamente estables.

En resumen, el artículo demuestra que incluso en los entornos geométricos más favorables (dominios uniformemente convexos) y para los tipos de solución más robustos (mínimos, estrictamente estables), la convexidad del dominio no garantiza la convexidad de los conjuntos supernivel para las no linealidades estándar como las leyes de Gelfand o de potencia.