FlowPET: Physics-Informed Symplectic Flow Matching for Low-Count PET Reconstruction

Resumen Técnico: FlowPET: Flujo de Emparejamiento Simpléctico Informado por la Física para la Reconstrucción de PET de Bajo Conteo

Planteamiento del Problema
La reconstrucción de Tomografía por Emisión de Positrones (PET) de bajo conteo enfrenta un desafío crítico: la recuperación fiel de señales de lesiones débiles pero de vital importancia diagnóstica en medio de altos niveles de ruido. Los paradigmas actuales de aprendizaje profundo sufren una limitación geométrica fundamental. Los enfoques deterministas (p. ej., CNN basadas en regresión) padecen de "regresión a la media", suavizando excesivamente las texturas de alta frecuencia y suprimiendo lesiones sutiles. Por el contrario, los modelos generativos estocásticos (p. ej., Modelos de Difusión, SDE) dependen de dinámicas disipativas. Estos modelos inducen una divergencia estrictamente negativa ($\nabla \cdot v < 0$) en el espacio de fase, lo que provoca una contracción continua del volumen. En regímenes de bajo conteo, esta contracción es indiscriminada; no logra distinguir entre el ruido estocástico y las características patológicas dispersas, lo que conduce a la extinción numérica o al "lavado" (wash-out) de las señales de lesiones débiles antes de que se formen estructuras coherentes.

Metodología
Los autores proponen FlowPET, un marco informado por la física que reformula la reconstrucción de PET como un problema de transporte de preservación de volumen dentro de un Espacio de Fase Simpléctico.

1. Elevación al Espacio de Fase Simpléctico:
   En lugar de operar sobre el estándar de la variedad de la imagen, FlowPET eleva la reconstrucción a un espacio de fase aumentado $Z = X \times P$, donde $X$ representa la posición de la imagen y $P$ es un espacio de momento auxiliar. La dinámica está gobernada por un Sistema Hamiltoniano Separable:
   $$H_\theta(t, x, p; y) = U_\psi(t, x; y) + K_\phi(t, p; y)$$
   donde $U_\psi$ es un término de potencial (dependiente solo de la posición) y $K_\phi$ es un término cinético (dependiente solo del momento). Por el Teorema de Liouville, esta estructura garantiza un campo vectorial sin divergencia ($\nabla \cdot v = 0$), asegurando que el volumen del espacio de fase ocupado por las señales débiles sea invariante y no se contraiga artificialmente.

2. Límites Conjugados Informados por la Física:
   Para abordar la naturaleza mal planteada del problema inverso sin depender de la contracción para la reducción de ruido, FlowPET introduce una estrategia de Descomposición de Espacio-Rango para las condiciones de contorno del flujo:

   • Momento del Espacio-Ralla (Range-Space Momentum, $p_0$): En el límite de la fuente, el momento se inicializa para codificar el gradiente de consistencia de los datos (la "fuerza restauradora"). Esto atrae la trayectoria hacia la variedad de soluciones consistentes con el sinograma medido.
   • Momento del Espacio-Nulo (Null-Space Momentum, $p_1$): En el límite de destino, la incertidumbre estocástica se inyecta estrictamente en el subespacio ortogonal nulo del operador de PET. Esto confina la generación de texturas de alta frecuencia al subespacio no observado, evitando la alucinación de artefactos que violen las restricciones físicas.

3. Emparejamiento de Flujo Simpléctico e Inferencia:
   El modelo se entrena mediante Emparejamiento de Flujo Simpléctico (SFM), minimizando la pérdida de regresión entre el campo vectorial aprendido y la velocidad objetivo definida por la interpolación lineal de los estados de contorno. Para la inferencia, los autores emplean un integrador de Salto de Liebre (Leapfrog/Störmer–Verlet) simpléctico. A diferencia de los resolvedores estándar (p. ej., Runge-Kutta) que introducen disipación numérica, el integrador Leapfrog preserva el determinante del Jacobiano unitario, asegurando la preservación exacta del volumen y el transporte sin pérdidas de la incertidumbre inyectada en el espacio nulo hacia la reconstrucción final.

Contribuciones Clave

• Marco Generativo Simpléctico: FlowPET utiliza dinámicas Hamiltonianas separables para asegurar un transporte libre de divergencia, evitando teóricamente el "lavado de señal" (signal wash-out) que es común en los modelos de difusión disipativos al mantener la invariancia del volumen del espacio de fase.
• Ortogonalidad Informada por la Física: La introducción de una estrategia de descomposición de espacio-rango/nulo impone rigurosamente la consistencia de los datos en el espacio de rango, mientras confina la exploración estocástica al espacio nulo, resolviendo el compromiso entre fidelidad y diversidad.
• Inferencia de Preservación de Estructura: La implementación de un integrador Leapfrog simpléctico demuestra que la conservación geométrica estricta produce una recuperación de lesiones de bajo contraste superior a las de los métodos de referencia (baselines).

Resultados Experimentales
FlowPET fue evaluado en tres conjuntos de datos: BrainWeb (20% de conteo), un conjunto de datos pediátrico propio (1% de conteo) y UDPET Brain (1% de conteo).

• Desempeño Cuantitativo: FlowPET alcanzó resultados de vanguardia en todas las métricas (SSIM, PSNR, RMSE). Notablemente, superó tanto a los métodos deterministas como a los de base estocástica (p. ej., IR-SDE, DREAM, FourierPET) en SSIM y PSNR, manteniendo un RMSE más bajo, lo que indica una recuperación de textura superior sin artefactos de ruido.
• Análisis Cualitativo: Las comparaciones visuales en escaneos pediátricos revelaron que los modelos de base disipativa exhibían un "lavado de señal" en las regiones de lesiones débiles. FlowPET recuperó con éxito estas estructuras de bajo contraste, mostrando una fidelidad estructural más cercana a la referencia de conteo completo.
• Análisis de Recuperación de Señal: Un análisis de trayectoria rastreando las razones de Valores de Captación Estándar (SUV) demostró que, mientras los resolvedores disipativos causaban una saturación y colapso prematuro de la señal, FlowPET exhibió una recuperación sostenida y monótona hacia la verdad de campo, confirmando la protección de la masa de la señal de la lesión contra la extinción numérica.

Significancia
El artículo afirma que FlowFET ofrece una salvaguarda geométrica robusta para problemas inversos médicos en regímenes de alto ruido. Al cambiar de la contracción disipativa al transporte simpléctico conservativo, el método aborda el modo de falla específico de los modelos generativos actuales donde las señales de lesiones débiles pero críticas se pierden. Este trabajo establece que imponer restricciones estructurales Hamiltonianas no es meramente una herramienta para la simulación física, sino un mecanismo necesario para la conservación de la información en problemas inversos mal planteados, asegurando que la masa de probabilidad sea transportada en lugar de extinguida.