Anchored Nash inequalities and heat kernel bounds for a class of random conductance models with long-range jumps

Resumen Técnico: Desigualdades de Nash Ancladas y Límites del Núcleo de Calor para una Clase de Modelos de Conductancia Aleatoria con Saltos de Largo Alcance

Planteamiento del Problema
El artículo aborda el desafío de establecer límites del núcleo de calor para caminatas aleatorias en grafos donde las tasas de salto (conductancias) son degeneradas, lo que significa que pueden estar arbitrariamente cerca de cero o ser ilimitadas por arriba. Específicamente, los autores extienden el análisis más allá de las caminatas aleatorias de vecinos más cercanos para incluir modelos con saltos de largo alcance.

En el contexto de los Modelos de Conductancia Aleatoria (RCM), las desigualdades de Nash estándar —que relacionan la norma $L^2$ de una función con su forma de Dirichlet y su norma $L^1$— a menudo fallan cuando los pesos no son uniformemente elípticos (es decir, no están acotados inferiormente por un valor distinto de cero). Aunque las desigualdades de Nash "ancladas" fueron introducidas previamente por Mourrat y Otto para caminatas de vecinos más cercanos con pesos degenerados, este trabajo aborda el escenario más complejo donde:

1. El grafo subyacente puede ser un grafo de localidad finita general, incluyendo cúmulos de percolación supercríticos.
2. La caminata aleatoria admite saltos de largo alcance (operadores no locales).
3. La medida de referencia (medida de velocidad) es general y no es necesariamente la medida de conteo.
4. Los pesos satisfacen únicamente condiciones de integrabilidad específicas en lugar de cotas uniformes.

Metodología
Los autores emplean un enfoque de análisis funcional centrado en la derivación y aplicación de desigualdades de Nash ancladas.

1. Desigualdad de Nash Anclada: El núcleo del logro técnico es demostrar una desigualdad de Nash anclada para operadores no locales. A diferencia de la desigualdad de Nash estándar, la versión anclada controla la norma $L^2$ de una función $f$ utilizando una forma de Dirichlet ponderada, la norma $L^1$, y una norma $L^2$ ponderada que involucra un término $\|\eta^{m/2}f\|_2$, donde $\eta(y) = \max\{d(o, y), 1\}$. Esto rompe la invarianza de traslación pero permite el control en entornos degenerados.
2. Interpolación: Los autores derivan una versión "interpolada" de esta desigualdad, que introduce exponentes $\alpha, \beta, \gamma$ cuya suma es 1, permitiendo un equilibrio más flexible entre la forma de Dirichlet, la norma $L^1$ y la norma $L^2$ ponderada.
3. Técnica de Cambio de Tiempo: Para manejar los saltos de largo alcance y las medidas de referencia generales, los autores introducen un cambio de tiempo del proceso original $X_t$. Definen un nuevo proceso $Y_t$ con una medida de velocidad $\pi_{m_0} = \max\{1, \mu_{m_0}, \theta\}$, donde $\mu_{m_0}$ captura los momentos de las longitudes de los saltos. Este proceso con cambio de tiempo satisface condiciones (específicamente respecto a la decadencia de los saltos de largo alcance) que permiten la aplicación de la desigualdad de Nash para derivar límites del núcleo de calor.
4. Transferencia de Límites: Utilizando la relación entre el proceso original y el proceso con cambio de tiempo (vía un funcional aditivo), los autores transfieren los límites superiores de la diagonal derivados para $Y_t$ de vuelta al proceso original $X_t$.
5. Verificación de Percolación: Para cúmulos de percolación supercríticos, los autores verifican que las condiciones geométricas necesarias (crecimiento de volumen y desigualdades de tipo Sobolev) se cumplen en grandes escalas, utilizando resultados conocidos sobre la comparabilidad de la distancia de grafo y la distancia euclidiana en estos cúmulos.

Contribuciones Clave y Resultados

• Teoremas 1.3 y 1.4 (Desigualdades de Nash Ancladas): El artículo establece una desigualdad de Nash anclada y su versión interpolada para una clase general de grafos que satisfacen la Asunción 1.1 (crecimiento de volumen y regularidad de tipo Sobolev). Estas desigualdades se cumplen para medidas de referencia $\theta$ generales y pesos que son ilimitados tanto por arriba como por abajo, siempre que se cumplan condiciones de integrabilidad específicas sobre $\theta$, $\theta^{-1}$ y las medidas de momentos de salto.
• Teorema 1.5 (Límites del Núcleo de Calor en la Diagonal): Utilizando las desigualdades derivadas, los autores prueban límites de la diagonal superiores de tipo quenched de la forma $p(t, o, o) \leq C t^{-d/2}$.
  • Este resultado se aplica a caminatas aleatorias con saltos de largo alcance, siempre que el kernel de salto sea $L^2$-integrable y esté controlado por la integrabilidad de la medida $\mu_{m_0}$.
  • Los límites se cumplen para dimensiones $d \geq 3$.
  • Las constantes en los límites dependen de la realización específica del entorno (quenched) pero son explícitas en términos de los momentos de las conductancias.
• Teoremas 1.8 y 1.9 (Entornos Ergódicos): Los resultados se aplican a modelos de conductancia aleatoria en entornos ergódicos.
  • Quenched: El límite del núcleo de calor se cumple casi seguramente para un entorno fijo.
  • Annealed: Al tomar las expectativas, los autores derivan límites del núcleo de calor annealed. Para $d \geq 3$, el límite annealed escala como $t^{-d/2}$. Para $d=2$, aparece una corrección logarítmica, resultando en un límite de orden $(1 + \log t)t^{-1}$.
• Teoremas 1.14 y 1.15 (Cúmulos de Percolación): El marco se extiende a cúmulos de percolación supercríticos (incluyendo aquellos con correlaciones de largo alcance). Los autores establecen la primera versión global de una desigualdad funcional (Nash anclada) en estos modelos degenerados y derivan los correspondientes límites del núcleo de calor.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma extender el alcance de los métodos de desigualdades funcionales en entornos aleatorios de varias maneras:

• Saltos de Largo Alcance: Es uno de los primeros trabajos en aplicar con éxito desigualdades de Nash ancladas a caminatas aleatorias con saltos de largo alcance que aún exhiben un comportamiento gaussiano a gran escala. Métodos previos (por ejemplo, la perturbación de Davies o la iteración de Moser) fueron señalados como difíciles de aplicar directamente a saltos de largo alcance debido a la variedad de longitudes de salto.
• Medidas de Referencia Generales: Los resultados eliminan la restricción de usar la medida de conteo, acomodando medidas de velocidad $\theta$ generales, lo cual es crucial para modelos como la Caminata de Velocidad Variable (VSRW) y la Caminata de Velocidad Constante (CSRW).
• Pesos Degenerados: El enfoque maneja pesos que no son uniformemente elípticos, basándose en su lugar en condiciones de momentos. Esto es significativo para modelos como los cúmulos de percolación donde las conductancias pueden desaparecer.
• Constantes Explícitas: Los autores destacan que su método produce constantes aleatorias explícitas en los límites del núcleo de calor. Esta explicitud facilita la derivación de estimaciones annealed (promediadas sobre el entorno) bajo condiciones de momento relativamente leves, contrastando con otras técnicas donde los resultados annealed requieren supuestos de momento más complejos o intrínsecos.
• Limitaciones: Los autores señalan modestamente que sus límites son estrictamente en la diagonal ($p(t, o, o)$). Afirman que derivar límites efectivos cerca de la diagonal ($p(t, o, x)$) se ve actualmente dificultado porque las constantes dependen del origen fijo $o$. En consecuencia, los resultados se establecen para dimensiones $d \geq 3$; el caso $d=2$ requiere un tratamiento diferente (corrección logarítmica) y no está cubierto por la misma escala gaussiana estándar.

El trabajo proporciona un conjunto de herramientas analíticas robustas para estudiar el núcleo de calor de caminatas aleatorias no locales y degeneradas, cerrando la brecha entre los modelos de vecinos más cercanos y los regímenes $\alpha$-estables mientras mantiene la escala gaussiana bajo condiciones de momento adecuadas.