Duality in Biperiodic Fibonacci Words Substitution Frequencies and Combinatorial Invariants

Resumen Técnico: Dualidad en las Palabras de Fibonacci Biperiódicas

Planteamiento del Problema
El artículo investiga la familia de palabras de Fibonacci biperiódicas, denotadas como $F(a,b)$, generadas por la secuencia directiva $(a, b, a, b, \dots)$ con parámetros enteros $a, b \ge 1$. Mientras que las frecuencias asintóticas de las letras de estas palabras dependen de una cantidad algebraica simétrica $A_a(a,b)$, otros invariantes, específicamente el exponente crítico $CE(F(a,b))$, exhiben una aparente asimetría bajo el intercambio de parámetros ($a \leftrightarrow b$). El problema central es explicar esta asimetría: ¿es un artefacto de las expresiones en forma cerrada o refleja una relación estructural más profunda entre $F(a,b)$ y $F(b,a)$? El artículo busca determinar si existe un morfismo explícito que mapee $F(b,a)$ hacia $F(a,b)$ y analizar cómo este mapeo afecta los invariantes combinatorios como las frecuencias de las letras, las palabras de retorno y las estructuras palindrómicas.

Metodología
Los autores emplean el marco de los sistemas S-ádicos y la teoría de palabras esturmianas.

1. Representación S-ádica: El artículo establece que $F(a,b)$ coincide con la secuencia esturmiana estándar generada por la secuencia directiva periódica $(a, b, a, b, \dots)$. Esto permite el uso de identidades de desubstitución.
2. Construcción del Morfismo: La herramienta metodológica central es el morfismo explícito $\sigma_a: 0 \mapsto 0^a1, 1 \mapsto 0$. Los autores utilizan la inducción sobre las aproximaciones finitas $F(a,b)_n$ para probar que $\sigma_a(F(b,a)) = F(a,b)$ exactamente, sin la necesidad de recodificación de letras o correcciones de prefijo acotadas.
3. Análisis Combinatorio: Utilizando la dualidad establecida $\sigma_a$, los autores derivan fórmulas exactas para:
   • Las frecuencias de las letras mediante el análisis de límite de la acción del morfismo sobre las longitudes de los bloques.
   • Las palabras de retorno mediante el análisis de la descomposición de bloques de la palabra infinita.
   • Los prefijos palindrómicos aprovechando resultados clásicos sobre secuencias esturmianas estándar y palabras centrales.
4. Fracciones Continuas: La pendiente $\theta(a,b)$ de la palabra se analiza mediante su expansión de fracciones continuas, vinculando las propiedades combinatorias con el irracional cuadrático $A(a,b)$.

Contribuciones Clave y Resultados

• Teorema de Dualidad de Desplazamiento de Paridad: El artículo demuestra que $F(a,b) = \sigma_a(F(b,a))$ para todo $a, b \ge 1$. Esto establece una correspondencia estructural precisa donde la palabra $F(a,b)$ es la imagen de $F(b,a)$ bajo el morfismo $\sigma_a$. Esto explica la asimetría en los invariantes como una consecuencia del "mecanismo de redistribución de longitud" inducido por $\sigma_a$.
• Frecuencias de Letras: Los autores derivan expresiones en forma cerrada exactas para las frecuencias de las letras 0 y 1 en $F(a,b)$:
  $$\text{freq}_1(F(a,b)) = \frac{b}{\alpha + b}, \quad \text{freq}_0(F(a,b)) = \frac{\alpha}{\alpha + b}$$
  donde $\alpha = A(a,b)$. Esto corrige las suposiciones previas de que las frecuencias podrían ser simétricas bajo $a \leftrightarrow b$; no lo son, a menos que $a=b$.
• Palabras de Retorno: El artículo proporciona una descripción completa de las palabras de retorno para cada letra:
  • Las palabras de retorno para 0 son $\{0, 01\}$, las cuales son independientes de $a$ y $b$.
  • Las palabras de retorno para 1 son $\{10^a, 10^{a+1}\}$.
  • La dualidad actúa sobre el conjunto de palabras de retorno para 1 sustituyendo el exponente $a$ por $b$, mientras que el conjunto para 0 permanece invariante.
• Propiedades Esturmianas: Se demuestra que $F(a,b)$ es una palabra esturmiana estándar para todos $a, b \ge 1$. En consecuencia, la función de equilibrio es $B(n) \equiv 1$ y la complejidad abeliana es $AC(n) \equiv 2$ para todo $n$. Estos invariantes son trivialmente simétricos bajo $a \leftrightarrow b$.
• Estructura Palindrómica: El artículo demuestra que para cada $n \ge 2$, la palabra obtenida al eliminar las dos últimas letras de la aproximación finita $F(a,b)_n$ es un palíndromo. Esto confirma la existencia de prefijos palindrómicos arbitrariamente largos.
• Pendiente y Fracción Continua: Se determina que la expansión de la fracción continua de la pendiente $\theta(a,b)$ es $[0; ab+1, 1, ab]$. El artículo demuestra que la pendiente y el exponente crítico dependen del par $(a,b)$ únicamente a través del producto $ab$ y el máximo $\max(a,b)$.
• Minimización del Exponente Crítico: El artículo define un índice $Ind(F(a,b))$ relacionado con el exponente crítico y demuestra que alcanza su mínimo global de forma única en $(a,b) = (1,1)$, recuperando el valor clásico de la palabra de Fibonacci $2 + \phi$.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo sostiene que la aparente asimetría en el exponente crítico y las frecuencias de las letras de las palabras de Fibonacci biperiódicas no es un fenómeno aislado, sino una consecuencia uniforme de la dualidad estructural entre $F(a,b)$ y $F(b,a)$. Al identificar el morfismo explícito $\sigma_a$, los autores proporcionan una explicación unificada de por qué los invariantes que dependen de la interacción entre la identidad de la letra y la longitud del bloque no son simétricos bajo el intercambio de parámetros.

El trabajo resuelve el "rompecabezas" de por qué las cantidades algebraicas como $A(a,b)$ son simétricas mientras que los invariantes combinatorios no lo son, atribuyendo la diferencia a la acción específica del morfismo. El artículo establece explícitamente que esta relación de dualidad no había sido observada previamente. También identifica problemas abiertos, incluyendo el cálculo de la función de complejidad palindrómica completa $P_{F(a,b)}(n)$ para todo $n$ y la identificación de las repeticiones extremas exactas para el exponente crítico, señalando que las cotas inferiores actuales no son ajustadas. Los autores sugieren que el marco podría extenderse a secuencias directivas $k$-periódicas, lo que implica una dualidad cíclica más amplia.