Non-Abelian Thirring model at large $N$

Resumen Técnico: Modelo de Thirring No Abeliano en el Límite de $N$ Grande

Planteamiento del Problema
El artículo investiga el modelo de Thirring no abeliano bosonizado para un grupo Lie semisimple $G$ de nivel $k$, deformado por un operador marginal clásico bilineal en las corrientes. El objetivo principal es explorar el régimen donde el Casimir cuadrático del grupo en la representación adjunta, $c_G$, es grande en comparación con el nivel $k$ ($c_G \gg k$). Esto corresponde a un límite de $N$ grande para grupos como $SU(N)$.

Aunque el modelo está bien comprendido en el régimen semi-clásico ($c_G/k \ll 1$) mediante acciones efectivas y deformaciones $\lambda$, el comportamiento en el límite $c_G \gg k$ ha sido menos explorado. Trabajos previos sobre el modelo de Thirring no abeliano fermiónico de Dashen y Frishman sugirieron la existencia de un punto crítico adicional de orden $1/c_G$. Por el contrario, Destri y de Vega no encontraron tal punto. Este trabajo tiene como objetivo resolver esta discrepancia para la variante bosonizada, buscando puntos fijos no triviales de orden $k/c_G$ (o equivalentemente $1/N$) utilizando métodos perturbativos.

Metodología
Los autores emplean teoría de perturbación conforme alrededor del punto fijo de Wess-Zumino-Witten (WZW) ($\lambda=0$). Dado que la acción efectiva derivada para el régimen $c_G/k \ll 1$ es inaplicable aquí, el estudio se basa enteramente en expansiones diagramáticas.

1. Límite de 't Hooft: Los autores definen un acoplamiento efectivo de 't Hooft $\tilde{\lambda} = \frac{c_G}{k}\lambda$. Realizan una expansión perturbativa en $\tilde{\lambda}$ mientras mantienen $\tilde{\lambda}$ fijo conforme $c_G \to \infty$ y $k \to \infty$. En este límite, solo se retienen los órdenes principales de $c_G/k$.
2. Funciones de Correlación: El estudio calcula funciones de correlación de dos puntos para:
   • El operador compuesto conductor $O(z, \bar{z}) = J^a(z)\bar{J}^a(\bar{z})$.
   • Los operadores de corriente $J^a(z)$ y $\bar{J}^a(\bar{z})$.
     Los cálculos se llevan a cabo hasta tres bucles (orden cúbico en $\lambda$).
3. Regularización e Integración: Las computaciones utilizan un esquema de regularización específico que involucra un corte UV $\epsilon$ y un corte IR $R$. Los autores emplean un conjunto de herramientas de integrales complejas (derivadas mediante el teorema de Green y el teorema de Stokes) para evaluar los diagramas de múltiples bucles. Las constantes de estructura de la álgebra de Lie se contraen usando identidades de traza en la representación adjunta.
4. Renormalización: A partir de las partes divergentes de las funciones de correlación (específicamente los términos logarítmicos involucrando $\ln(\epsilon^2/|z_{12}|^2)$), los autores extraen las constantes de renormalización (factores $Z$). Estos se utilizan para determinar las dimensiones anómalas y la $\beta$-función.

Contribuciones Clave y Resultados

• Correlador del Operador Compuesto ($OO$):
  Los autores computan el correlador $OO$ hasta tres bucles. La contribución principal en la expansión $c_G/k$ produce una serie en $\tilde{\lambda}$:
  $$\langle O(z_1)O(z_2) \rangle \propto \frac{1}{|z_{12}|^4} \left( 1 - 2\tilde{\lambda} \ln \frac{\epsilon^2}{|z_{12}|^2} + \frac{5}{2}\tilde{\lambda}^2 \ln^2 \frac{\epsilon^2}{|z_{12}|^2} - \frac{5}{2}\tilde{\lambda}^3 \ln^3 \frac{\epsilon^2}{|z_{12}|^2} \right)$$
  A partir de esto, la dimensión anómala del operador compuesto se encuentra linealmente exacta hasta el orden cúbico: $\gamma_O = -2\tilde{\lambda} + O(\tilde{\lambda}^4)$.

• Correladores de Corriente ($JJ$y$J\bar{J}$):
  Se computan las correcciones de tres bucles para los correladores $JJ$y$J\bar{J}$.

  • Para el correlador $JJ$, la dimensión anómala del operador de corriente se encuentra como:
    $$\gamma_J = \frac{k}{c_G} (\tilde{\lambda}^2 + \tilde{\lambda}^3 + O(\tilde{\lambda}^4))$$
    En el límite de 't Hooft estricto ($c_G \to \infty$), la dimensión anómala de orden principal se anula.
  • Para el correlador $J\bar{J}$, se analizan los términos de contacto para extraer la renormalización del acoplamiento.

• $\beta$-Función y Puntos Fijos:
  Utilizando las ecuaciones de grupo de renormalización derivadas de los datos de la corriente y el operador compuesto, se determina la $\beta$-función para el acoplamiento de 't Hooft $\tilde{\lambda}$.

  • El resultado es cuadráticamente exacto hasta el orden cuártico:
    $$\beta_{\tilde{\lambda}} = -\frac{\tilde{\lambda}^2}{2} + O(\tilde{\lambda}^5)$$
  • Los autores afirman explícitamente que no existe un punto crítico adicional de orden $k/c_G$ (o $1/N$) dentro del régimen perturbativo calculado (hasta el orden cuártico en $\tilde{\lambda}$). El único punto fijo es el punto fijo UV en $\tilde{\lambda} = 0$.

Significado y Reivindicaciones
El artículo afirma que sus hallazgos se alinean con los resultados de Destri y de Vega para el modelo de Thirring no abeliano fermiónico, que no encontró puntos fijos adicionales. Esto contradice directamente la afirmación de Dashen y Frishman respecto a la existencia de un punto fijo adicional de orden $1/c_G$.

Los autores argumentan que los puntos $\lambda = \pm 1$, que corresponden a los modelos no abeliano T-dual y pseudo-dual, son artefactos del límite semi-clásico ($c_G/k \ll 1$) donde la acción efectiva es válida. En el régimen de $N$ grande ($c_G \gg k$), estos puntos no representan puntos fijos no triviales del flujo del grupo de renormalización. El trabajo sugiere que la $\beta$-función se trunca a una forma cuadrática simple en este límite, lo que implica una estructura de flujo RG más simple de lo hipotetizado previamente para la existencia de puntos fijos intermedios.

Direcciones Futuras
El artículo sugiere extender estos resultados para demostrar la truncación exacta de la $\beta$-función y las dimensiones anómalas para todos los órdenes en $\tilde{\lambda}$ en el límite $c_G \gg 1$. También propone calcular funciones de tres puntos para deducir la Expansión de Producto de Operadores (OPE) y el álgebra de simetría subyacente en el límite de $N$ grande, así como investigar el modelo con niveles izquierdo y derecho desiguales ($k_L \neq k_R$).