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Weighted Extensions of the Kolmogorov-Smirnov, Cramer-von Mises, and Anderson-Darling Tests for Assessing Covariate Balance

Este artículo extiende las pruebas de Kolmogorov-Smirnov, Cramér-von Mises y Anderson-Darling para dar cabida a datos ponderados en la evaluación del equilibrio de covariables en la inferencia causal, demostrando mediante simulaciones que estas versiones ponderadas mantienen un control válido del error de Tipo I y preservan sus respectivas ventajas de potencia frente a diferentes tipos de discrepancia, recomendándose la prueba de Anderson-Darling como un estándar robusto de propósito general.

Autores originales: Ariel Linden

Publicado 2026-07-27

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CC BY 4.0

Autores originales: Ariel Linden

Artículo original bajo licencia CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Esta es una explicación generada por IA del artículo a continuación. No ha sido escrita ni avalada por los autores. Para mayor precisión técnica, consulte el artículo original. Leer descargo de responsabilidad completo

Imagina que eres un detective intentando resolver un misterio: ¿Realmente funcionó una nueva medicina o es que los pacientes ya eran más saludables de por sí? En el mundo de la ciencia, esto se llama "inferencia causal". Para estar seguro, necesitas comparar dos grupos de personas: aquellos que recibieron el tratamiento y aquellos que no. Si los grupos están perfectamente emparejados —como gemelos en altura, peso y edad—, cualquier diferencia en su salud posterior puede atribuirse a la medicina. Pero en la vida real, no siempre podemos realizar experimentos perfectos donde las personas sean asignadas al azar. En su lugar, los científicos suelen utilizar un truco ingenioso llamado "ponderación". Piensa en esto como una báscula digital en un supermercado. Si el grupo "tratado" tiene demasiada gente pesada y el grupo "no tratado" tiene demasiada gente ligera, el científico asigna un "peso" a cada persona. Una persona ligera en el grupo pesado recibe un gran peso (como un contrapeso pesado), mientras que una persona pesada en el grupo ligero recibe un peso diminuto. Esto obliga matemáticamente a que los dos grupos parezcan equilibrados.

Pero aquí está la parte difícil: el hecho de que el peso promedio parezca el mismo no significa que los grupos sean verdaderamente idénticos. Imagina dos bolsas de canicas. Una bolsa tiene diez canicas de 1 libra. La otra tiene cinco canicas de 1 libra y cinco canicas de 2 libras. Si solo miras el promedio, podrían parecer similares, pero la distribución de los pesos es totalmente diferente. Los científicos necesitan comprobar si la forma completa de los datos coincide, no solo el promedio. Durante años, tuvieron herramientas para comprobar esto, pero esas herramientas se rompían cuando intentabas usarlas en estas bolsas de canicas "ponderadas". No podían manejar los contrapesos digitales. Este artículo trata sobre cómo arreglar esas herramientas para que funcionen perfectamente, incluso cuando los datos han sido retocados con pesos.

El artículo presenta tres versiones nuevas y actualizadas de los clásicos "tests de equilibrio" que pueden manejar estos datos ponderados. Los autores, liderados por Ariel Linden, tomaron tres métodos estadísticos famosos —el Kolmogorov–Smirnov (KS), el Anderson–Darling (AD) y el Cramér–von Mises (CVM)— y les enseñaron cómo leer los pesos. No se limitaron a adivinar cómo hacerlo; construyeron un nuevo método de "permutación" universal. Imagina que tienes una baraja de cartas donde algunas cartas tienen pegatinas pesadas. En lugar de intentar averiguar por qué están las pegatinas ahí, el nuevo método simplemente baraja las etiquetas (quién pertenece a qué grupo) manteniendo las cartas y sus pegatinas exactamente donde están. Al hacer esto miles de veces, pueden ver si las diferencias que observan son reales o solo un golpe de suerte.

Los investigadores probaron estas nuevas herramientas en una simulación informática masiva. Crearon cuatro escenarios diferentes para ver cómo se desempeñaban las herramientas. Primero, comprobaron si las herramientas daban falsas alarmas (error de Tipo I) cuando los grupos eran en realidad idénticos. Los resultados fueron excelentes: las tres herramientas se mantuvieron muy cerca de la tasa de error correcta del 5%, lo que significa que no dieron la falsa alarma cuando no había lobo.

Luego, probaron las herramientas contra tres tipos diferentes de "desajustes" entre los grupos:

El Desajuste Central: Imagina que los grupos son idénticos en todas partes excepto justo en el medio, como dos multitudes donde todos en el centro visten camisetas rojas en un grupo y azules en el otro. Aquí, el test Kolmogorov–Smirnov (KS) fue el claro ganador. Es como un detective que solo busca la brecha más grande; encontró el desajuste central más rápido que nadie.
El Desajaste de la Cola: Imagina que los grupos son idénticos en el medio, pero las personas "extremas" (los muy altos o muy bajos) son diferentes. Esto es como si un grupo tuviera algunos gigantes y el otro tuviera algunos enanos. Aquí, el test Anderson–Darling (AD) fue abrumadoramente el mejor. Es como un detective que presta especial atención a los bordes de la habitación. El test KS apenas notó este problema.
El Desajuste Difuso: Imagina que los grupos son ligeramente diferentes en todas partes, como si un grupo fuera generalmente un poco más alto que el otro en general. En este caso, tanto el test AD como el CVM funcionaron muy bien y estaban casi empatados, mientras que el test KS se quedó rezagado.

El artículo también analizó qué sucede cuando los propios "pesos" son muy desordenados y varían mucho (simulando datos del mundo real donde algunas personas reciben pesos enormes y otras pesos diminutos). Incluso con este caos, las herramientas se mantuvieron firmes. El test AD siguió siendo el mejor para detectar problemas en las colas, y el test KS siguió siendo el mejor para los problemas centrales.

Entonces, ¿cuál es la conclusión para un científico? Si sospechas que los grupos son diferentes justo en el medio, usa el test KS. Si te preocupan los extremos (las colas), el test AD es tu mejor amigo. Si no estás seguro de dónde podría estar la diferencia, o si crees que la diferencia está repartida por todas partes, el test AD es una elección "por defecto" segura y fiable que funciona bien en casi todas las situaciones, superando a menudo a los demás. Los autores incluso integraron estas herramientas en comandos de software (para un programa llamado Stata) para que otros investigadores puedan utilizarlas de inmediato.

En resumen, este artículo no solo inventó nuevas herramientas; arregló las antiguas y rotas para que puedan manejar los datos desordenados y ponderados que produce la ciencia del mundo real. Confirmó que, si bien ninguna herramienta es perfecta para cada trabajo, el test Anderson–Darling es el "todoterreno" más versátil para comprobar si dos grupos están realmente equilibrados, especialmente cuando te preocupan los extremos.

Resumen Técnico: Extensiones Ponderadas de Pruebas de Bondad de Ajuste Distribucionales para el Equilibrio de Covariables

Planteamiento del Problema
La evaluación del equilibrio de las covariables es un paso diagnóstico fundamental en la inferencia causal, necesario para respaldar el supuesto de que las características no medidas no confunden significativamente los efectos estimados del tratamiento. Si bien el equilibrio suele lograrse mediante ajustes post-hoc como la ponderación por puntaje de propensión, el balance de entropía o la estratificación, las prácticas diagnósticas actuales dependen en gran medida de medidas de resumen como la diferencia de medias estandarizada (SMD) y las razones de varianza. Estas estadísticas de resumen poseen una limitación crítica: se dirigen únicamente a puntos específicos de la distribución de una covariable (por ejemplo, la media o la varianza) y son inherentemente incapaces de detectar diferencias distribucionales en la asimetría, la ubicación de la masa o el comportamiento de las colas que no afecten a esos momentos específicos.

Las pruebas de bondad de ajuste distribucionales basadas en la función de distribución acumulativa empírica (ECDF) —específicamente las pruebas de Kolmogorov–Smirnov (KS), Cramér–von Mises (CVM) y Anderson–Darling (AD)— ofrecen una alternativa más completa al comparar distribuciones completas. Sin embargo, hasta este trabajo, estas pruebas solo estaban disponibles para datos no ponderados. Esta brecha impidió su aplicación en los mismos escenarios donde el equilibrio distribucional es más crítico: análisis ponderados destinados a equiparar los grupos de tratamiento y comparación.

Metodología
El artículo extiende las pruebas KS, CVM y AD para acomodar pesos de casos de cualquier origen. La innovación metodológica central es un procedimiento de inferencia de permutación de etiquetas unificado que trata el peso de una observación como un atributo fijo en lugar de una cantidad ligada a un mecanismo de estimación específico. Este enfoque no requiere supuestos sobre cómo se generaron los pesos, lo que permite aplicar las pruebas a cualquier esquema de ponderación (por ejemplo, ponderación por el inverso de la probabilidad de tratamiento, balance de entropía) sin modificaciones.

Las estadísticas ponderadas se definen de la siguiente manera:

KS ponderado ( $D^w$ ): La distancia absoluta máxima de la distancia vertical entre las ECDF ponderadas de los dos grupos.
CVM ponderado ( $C^w$ ): La suma de las diferencias cuadráticas entre las ECDF ponderadas a través de valores distintos, sin estandarización de la varianza.
AD ponderado ( $AD^w$ ): La suma de las diferencias cuadráticas estandarizadas por la varianza bajo la hipótesis nula. Crucialmente, el tamaño de la muestra $N$ en el término de la varianza se reemplaza por el tamaño de muestra efectivo de Kish ( $n_e$ ) para tener en cuenta el contenido de información de la muestra ponderada. El multiplicador de empates permanece como el recuento bruto de observaciones que comparten un valor.

La inferencia se realiza mediante la permutación de etiquetas: las etiquetas de los grupos se reordenan aleatoriamente entre $N$ observaciones manteniendo fijos el valor y el peso de cada observación. El valor $p$ se deriva de la proporción de estadísticas permutadas que exceden la estadística observada.

Diseño del Estudio de Simulación
Se realizó un estudio de simulación para evaluar si las ventajas comparativas conocidas de las pruebas no ponderadas persisten bajo la ponderación. Se construyeron cuatro escenarios:

Nulo: Sin discrepancia (para evaluar el error de Tipo I).
Discrepancia Localizada Centralmente: Un desplazamiento confinado al rango intercuartílico.
Discrepancia Localizada en la Cola: Un desplazamiento confinado a las colas extremas.
Discrepancia Difusa: Un desplazamiento uniforme en toda la distribución.

El estudio varió los tamaños de muestra ( $n = 1,000$ a $4,000$) y la variabilidad de los pesos (tamaño de muestra efectivo de Kish objetivo $r_e = 0.6$ , con controles de sensibilidad de $0.2 $a$ 0.9$).

Resultados Clave

Control del Error de Tipo I: En todos los tamaños de muestra y bajo una variabilidad de peso sustancial, las tres pruebas ponderadas controlaron el error de Tipo I cerca del nivel nominal del 5%. Esto confirma que el procedimiento compartido de permutación de etiquetas calibra eficazmente la distribución nula sin requerir supuestos sobre la generación de los pesos.
Discrepancia Localizada Centralmente: La prueba KS demostró la mayor potencia, superando significativamente tanto a AD como a CVM. Esto se alinea con la expectativa teórica de que KS es más sensible a una única divergencia localizada y grande.
Discrepancia Localizada en la Cola: La prueba AD fue abrumadoramente la más potente, superando significativamente tanto a KS como a CVM. KS y CVM permanecieron cerca de sus tasas de error de Tipo I, fallando en detectar la discrepancia de la cola. Esto confirma la sensibilidad de AD a las desviaciones de la cola debido a su término de estandarización de la varianza.
Discrepancia Difusa: Tanto AD como CVM funcionaron de manera comparable y superaron significativamente a KS. Contrario a la expectativa teórica de que CVM sería únicamente superior ante discrepancias difusas, AD mantuvo una ventaja modesta pero estadísticamente significativa sobre CVM en muestras de tamaño moderado a grande.
Sensibilidad a la Variabilidad de los Pesos: El orden comparativo de las pruebas se mantuvo estable a través de un amplio rango de variabilidad de pesos ( $r_e$ de $0.2 $a$ 0.9$). En el caso de la variabilidad más extrema ( $r_e = 0.2$ ), las tres pruebas mostraron una modesta desviación ascendente en el error de Tipo I (aprox. 6.4–6.7%), aunque los rankings de rendimiento relativo se mantuvieron consistentes.

Ejemplo Aplicado
Los métodos se aplicaron a una evaluación cuasi-experimental de una intervención de coaching de salud utilizando pesos de probabilidad inversa de tratamiento. La evaluación del equilibrio del Índice de Masa Corporal (IMC) reveló conclusiones divergentes: la prueba AD detectó una discrepancia residual significativa ( $p = .018$ ), mientras que CVM fue sugestiva ( $p = .079$ ) y KS no fue significativa ( $p = .123$ ). La inspección visual de las ECDF ponderadas mostró una divergencia gradual y persistente a través de un rango de valores de IMC en lugar de una única brecha aguda, ilustrando por qué AD (sensible a cambios en toda la distribución) detectó el desequilibrio mientras que KS no lo hizo.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo realiza dos contribuciones principales:

Extensión Metodológica: Proporciona las primeras generalizaciones ponderadas de las pruebas KS, CVM y AD, poniéndolas a disposición para la evaluación rutinaria del equilibrio de covariables en estudios de inferencia causal ponderados.
Marco de Inferencia: Establece un procedimiento de inferencia de permutación de etiquetas único y libre de supuestos aplicable a cualquier esquema de ponderación.

Los autores concluyen que las ventajas comparativas conocidas de las pruebas no ponderadas se preservan bajo la ponderación. Por consiguiente, recomiendan el Anderson–Darling como un defecto general razonable para la evaluación rutinaria del equilibrio de covariables, ya que funciona robustamente a través de tipos de discrepancia y es abrumadoramente superior para las discrepancias localizadas en la cola (una preocupación común en la ponderación por puntaje de propensión). Sin embargo, señalan que el Kolmogorov–Smirnov retiene una ventaja distinta si se sospecha específicamente de un desequilibrio concentrado centralmente. El artículo sugiere que reportar múltiples pruebas (por ejemplo, tanto AD como KS) es una estrategia prudente para protegerse contra los puntos ciegos de cualquier estadística individual.

Los autores mantienen la modestia respecto al alcance de sus hallazgos, señalando que las simulaciones utilizaron una distribución base normal y que el orden comparativo para las discrepancias difusas (donde AD y CVM fueron comparables) requiere una mayor investigación sobre los mecanismos subyacentes. No pretenden haber probado la validez de estas pruebas bajo todos los posibles esquemas de ponderación o formas distribucionales, sino demostrar la consistencia bajo las condiciones específicas simuladas.

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