Diagonal cycles on Shtukas and the adjoint $L$-function

Resumen Técnico: Ciclos Diagonales en Shtukas y la Función L Adjunta

Planteamiento del Problema
El artículo aborda la búsqueda de una identidad de tipo Gross–Zagier sobre cuerpos de funciones para grupos reductivos de tipo arbitrario. Mientras que la fórmula clásica de Gross–Zagier relaciona la altura de los puntos de Heegner con la derivada central de una función $L$, las conjeturas aritméticas de Gan–Gross–Prasad (GGP) generalizan esto a dimensiones superiores, los marcos existentes han estado mayoritariamente restringidos a grupos de tipo A, B o D, y a situaciones donde la representación gobernante es la representación estándar. Trabajos anteriores en el ámbito de los cuerpos de funciones, como el de Yun–Zhang y las generalizaciones subsecuentes del autor y sus colaboradores, se limitaron a variedades esféricas "fuertemente templadas", imponiendo restricciones estrictas sobre los tipos de modificación de las Shtukas.

Este trabajo investiga el caso del grupo $G = H \times H$ y $X = H$, donde $H$ es un grupo reductivo casi simple dividido. El problema central es relacionar los números de autointersección de los ciclos diagonales en el espacio de módulos de $G$-Shtukas (con tipos de modificación arbitrarios) con derivadas superiores de funciones $L$ adjuntas, extendiendo así el marco de Gross–Zagier a grupos de tipo arbitrario sin la restricción de ser fuertemente templados.

Metodología
La estrategia de prueba diverge de los métodos de la fórmula de traza relativa utilizados en estudios previos de intersección aritmética. En su lugar, emplea un enfoque geométrico basado en el programa de Langlands geométrico en característica positiva y formalismos de traza categórica. La metodología procede a través de las siguientes etapas clave:

1. Integrales de Período Geométricas y Observables: El autor define un functor de integral de período geométrico $\int_X$ sobre la categoría de haces sobre el stack de módulos de $G$-bundles ($\text{Bun}_G$). Para un sistema local geométricamente fuertemente irreducible $\sigma$, se estudia la cohomología de este integral de período.
2. Acción de la Álgebra de Clifford: Una innovación técnica central es la construcción de una acción de álgebra de Clifford sobre la cohomología del integral de período geométrico. Esto se logra estableciendo una relación de conmutador entre observables $L$ "diagonales" y "adjuntos". Esta relación se deriva mediante cálculos locales en el álgebra de Plancherel utilizando correspondencias cohomológicas especiales.
3. Fórmula de Tipo Atiyah–Bott: El artículo demuestra un análogo de la fórmula de Atiyah–Bott para estos integrales de período geométricos, mostrando que el anillo de cohomología es un anillo polinomial (impar) libre generado por clases tautológicas. Esta estructura permite interpretar la intersección de emparejamiento como una traza de tipo Frobenius de un operador específico, denominado el "observable de intersección".
4. Correspondencia Local-Global: El observable de intersección se descompone en una "parte de derivada" y una "parte escalar". Utilizando el álgebra de Plancherel local, el autor computa estas partes explícitamente. Se demuestra que la parte de derivada corresponde a la acción de la representación adjunta, mientras que la parte escalar se relaciona con el fibrado de línea determinante.
5. Fórmula de Traza: El número de autointersección del ciclo diagonal (reticulado por fibrados de línea determinantes) se expresa como la traza del observable de intersección actuando sobre la cohomología del integral de período. Esta traza se computa utilizando la descomposición espectral proporcionada por la acción del álgebra de Clifford.

Contribuciones Claves y Resultados

• Identidad de Gross–Zagier Generalizada: El resultado principal (Teorema 1.4) establece una identidad que relaciona el emparejamiento de intersección del ciclo diagonal en el módulo de Shtukas para $H \times H$ con la $r$-ésima derivada de la función $L$ adjunta $L(s, \check{h}_{\sigma_H})$ en $s=0$. La fórmula es:
  $$\langle \Delta_{Sht, !}([Sht_{H, \leq \lambda_{H,I}}] \cup \prod c_1(L_{det, i})), \Delta_{Sht, !}[Sht_{H, \leq \lambda_{H,I}}] \rangle^* = \epsilon_{\lambda_I} \frac{L(0, \check{h}_{\sigma_H})}{\log q} \left( -\frac{d}{ds} \right)^r \left( q^{-(g-1)r(H)s} L(s, \check{h}_{\sigma_H}) \right) \Big|_{s=0}$$
  Aquí, $\epsilon_{\lambda}$ es una constante relacionada con el índice de Dynkin de la representación, y $r(H)$ es el rango de $H$.
• Tipos de Modificación Arbitrarios: A diferencia de trabajos previos restringidos a variedades fuertemente templadas, este resultado es válido para esencialmente arbitrarias representaciones $V \in \text{Rep}(\check{G})$ que gobiernan los tipos de modificación de las Shtukas.
• No Degeneración del Emparejamiento: El artículo demuestra (Teorema 1.2) que el emparejamiento de intersección en la componente isométrica $\sigma$ de la cohomología de intersección de las Shtukas es no degenerado para sistemas locales geométricamente fuertemente irreducibles.
• Estructura de Álgebra de Clifford: La construcción de la acción del álgebra de Clifford sobre el integral de período geométrico (Teorema 3.9) es una contribución estructural significativa, proporcionando una nueva herramienta para analizar números de intersección en el entorno de Langlands geométrico.
• Constantes Explícitas: El artículo proporciona fórmulas explícitas para las constantes $\epsilon_\lambda$ (índices de Dynkin) para varios grupos simples divididos y pesos co-minúsculos, resaltando su papel como factores de multiplicidad en la fórmula de intersección.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma proporcionar el primer caso de una fórmula de tipo Gross–Zagier para grupos de tipo arbitrario sobre cuerpos de funciones. Al eliminar la restricción de "fuertemente templado", amplía significativamente el alcance de la realización geométrica del programa de Langlands relativo.

El autor sugiere que este resultado apunta hacia un esquema conjectural paralelo para intersecciones aritméticas en variedades de Shimura. Específicamente, la aparición de la constante $\epsilon_\mu$ (el índice de Dynkin de la co-carácter de Hodge) como un factor de multiplicidad en la fórmula de intersección se identifica como un fenómeno novedoso no observado previamente en la literatura. El artículo postula que el Teorema 1.4 sirve como un modelo de cuerpo de funciones para una generalización de las conjeturas aritméticas de GGP a variedades de Shimura arbitrarias, donde el comportamiento de estas constantes juega un papel sutil y crucial.

El trabajo depende de la suposición de que el sistema local $\sigma_H$ es automórfico (lo cual es conocido para $GL_n$ y se espera generalmente); si $\sigma_H$ no es automórfico, el número de intersección es cero. Los resultados se formulan dentro del marco de $\infty$-categorías y haces étale con coeficientes en $\mathbb{Q}_\ell$, utilizando la correspondencia de Langlands geométrica tal como ha sido desarrollada en trabajos recientes de Gaitsgory, Lurie y otros.