Solution of Erd\H{o}s problem $\# 443$

Imagina un mundo donde los números no son solo dígitos fríos y duros, sino jugadores en un gigante e invisible juego de las escondidas. Este es el reino de la teoría de números, una rama de las matemáticas que trata a los enteros como personajes únicos con identidades secretas. En este juego, a menudo observamos "conjuntos" —que son solo palabras sofisticadas para colecciones de números— creados siguiendo una regla específica. Por ejemplo, si tomas un número, lo multiplicas por su pareja (el número que suma un total determinado) y enumeras todos los resultados, obtienes un patrón único. A los matemáticos les encanta preguntar: "Si creo dos patrones diferentes usando reglas distintas, ¿cuántos números tendrán en común?". Es como preguntar cuántas palabras aparecen tanto en un diccionario de poesía antigua como en un diccionario de jerga moderna. La pregunta puede parecer un acertijo para un club de matemáticas, pero nos ayuda a comprender la arquitectura oculta de los números, revelando si los patrones son raros, comunes o completamente impredecibles.

El artículo del que vas a escuchar trata un acertijo específico planteado por el legendario matemático Paul Erdős. Él se preguntó sobre dos colecciones especiales de números. La primera colección se forma tomando un número $m$, eligiendo un número más pequeño $k$ (del 1 hasta la mitad de $m$) y calculando el producto $k(m-k)$. La segunda colección hace exactamente lo mismo pero con un número $n$ diferente. La gran pregunta es: a medida que estos números se vuelven enormes, ¿cuántos "amigos comunes" (números que aparecen en ambas listas) pueden compartir? Erdős conjeturó que, si bien el número de amigos compartidos podría crecer, lo haría muy lentamente —tan lentamente que, para cualquier margen de error diminuto que elijas, el recuento eventualmente sería menor que una fórmula matemática específica que involucra el tamaño de los números. También preguntó si este número de amigos compartidos podría crecer sin detenerse nunca, o si alcanzaría un techo.

El autor de este artículo, Stijn Cambie, actúa como un detective resolviendo este misterio de décadas. Él confirma que el número de amigos compartidos es, de hecho, ilimitado, lo que significa que puede volverse tan grande como desees si eliges los números $m$ y $n$ adecuados. Para probar esto, utiliza un truco ingenioso: demuestra que encontrar un número compartido es lo mismo que encontrar una forma de descomponer una diferencia de cuadrados específica en dos piezas más pequeñas. Esto convierte el problema en contar los "divisores" (los bloques de construcción) de un número. Dado que sabemos que algunos números tienen una cantidad enorme de divisores, Cambie demuestra que siempre podemos encontrar pares de $m$ y $n$ que creen una cantidad masiva de amigos compartidos.

Sin embargo, el artículo también establece un límite de velocidad estricto para este crecimiento. Cambie demuestra que, si bien el número de amigos compartidos puede volverse enorme, crece increíblemente lento —tan lento que encaja en la conjetura del "margen diminuto" que hizo Erdős. Él muestra que el recuento está limitado por una función que es esencialmente "casi constante" en comparación con el tamaño de los números involucrados. En términos sencillos, incluso si eliges los mejores números posibles para maximizar el traslape, el número de amigos compartidos nunca explotará; siempre será una fracción diminuta del total de los números involucrados.

Curiosamente, el artículo revela un giro en la historia: este problema no fue en realidad un descubrimiento nuevo. El autor señala que un matemático llamado Norbert Hegyvári resolvió este mismo problema hace 40 años, pero su prueba fue publicada recientemente. Así que, aunque este artículo proporciona una explicación fresca y clara y confirma la respuesta, el estatus de "resuelto" del problema pertenece en realidad a ese trabajo anterior y largamente oculto. El artículo no solo conjetura; proporciona una prueba matemática, mostrando exactamente cómo se comporta el número de amigos compartidos y confirmando que es tanto ilimitado como sorprendentemente pequeño en relación con el tamaño de los números utilizados.