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On a problem of minimal additive complements for not eventually periodic $S$ -difference sets

Este artículo proporciona una respuesta afirmativa a un problema específico relacionado con los complementos aditivos mínimos para conjuntos de diferencias $S$ no eventualmente periódicos, tal como lo plantearon Ma y Chen.

Autores originales: Min Tang, Wenjing He

Publicado 2026-07-30

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CC BY 4.0

Autores originales: Min Tang, Wenjing He

Artículo original bajo licencia CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Esta es una explicación generada por IA del artículo a continuación. No ha sido escrita ni avalada por los autores. Para mayor precisión técnica, consulte el artículo original. Leer descargo de responsabilidad completo

Imagina que estás de pie en un pasillo infinito hecho de baldosas de números enteros, que se extiende eternamente en ambas direcciones. Tienes un conjunto especial de "piedras de salto" llamado $W$ . Si te paras sobre cualquier piedra en $W$ y das un paso desde una colección específica de "piedras de ayuda" llamada $C$ , quieres ser capaz de aterrizar en cada una de las baldosas del pasillo. En el lenguaje de la matemática, si la suma de tus piedras de ayuda y tus piedras de salto cubre toda la recta numérica, decimos que $C$ es un "complemento aditivo" de $W$ .

Pero aquí está el giro: ¿qué pasa si tu colección de ayudantes es demasiado grande? ¿Qué tal si pudieras desechar algunas piedras y aun así aterrizar en cada baldosa? Un "complemento aditivo mínimo" es el grupo más pequeño posible de ayudantes que puedes usar—tan pequeño que, si quitas incluso una sola piedra, dejarás un hueco en el pasillo que nadie podrá alcanzar. Un complemento aditivo mínimo es el grupo más pequeño posible de ayudantes que puedes usar—tan pequeño que, si quitas incluso una sola piedra, dejarás un hueco en el pasillo que nadie podrá alcanzar. Los matemáticos se han sentido fascinados por este rompecabezas durante más de una década, tratando de averiguar qué patrones de piedras de salto permiten tal equipo de ayudantes perfecto y diminuto. La gran pregunta era: si tus piedras de salto siguen un patrón que nunca se repite (un conjunto "no eventualmente periódico") pero los huecos entre ellas son siempre pequeños y elegidos de una lista específica de números, ¿puedes siempre encontrar este equipo mínimo?

Este artículo, escrito por Min Tang y Wenjing He, responde a esa pregunta con un rotundo "sí". Los autores abordan una versión específica y complicada de este problema donde los huecos entre las piedras en $W$ son elegidos de una lista finita de números enteros positivos, $S$ , y cada número en esa lista aparece como un hueco infinitas veces. Demuestran que no importa qué lista de números $S$ elijas (siempre que tenga al menos dos números diferentes), siempre puedes construir una secuencia que no se repite de las piedras que tenga un complemento aditivo mínimo. No solo suponen; construyen una receta detallada, paso a paso, para crear estas secuencias y demuestran matemáticamente que el equipo de ayudantes resultante es, de hecho, el más pequeño posible.

La historia de los rellenos de huecos

Para entender lo que hicieron Tang y He, imaginemos el problema como un juego de rellenar un mosaico gigante e infinito.

Los Jugadores

El Patrón ( $W$ ): Imagina una línea de piedras de paso. La distancia entre una piedra y la siguiente nunca es aleatoria; siempre es un número de un "menú" específico de tamaños, llamémoslo $S$ . Por ejemplo, tu menú podría ser $\{3, 5\}$ . Así que podrías saltar 3 pasos, luego 5, luego 3, luego 3, luego 5 otra vez. La regla es que debes usar cada tamaño del menú infinitas veces, y el patrón de saltos nunca debe establecerse en un bucle aburrido y repetitivo (como 3-5-3-5-3-5 para siempre). Esto es lo que los matemáticos llaman un "conjunto de diferencias INEP S" (Infinito, No Eventualmente Periódico).
Los Ayudantes ( $C$ ): Estas son las piedras que colocas en los huecos. Si te paras sobre una piedra de ayuda y saltas a cualquier piedra en tu patrón $W$ , deberías ser capaz de alcanzar cada número entero en la recta numérica.
El Objetivo: Encontrar el conjunto mínimo de ayudantes. Esto significa encontrar el equipo más pequeño de ayudantes donde cada uno de sus miembros es absolutamente esencial. Si despides a uno, la cobertura se rompe.

El Misterio Previo
Antes de este artículo, los matemáticos conocían la respuesta para algunos menús específicos. Si tu menú era solo $\{1, 2\}$ , o si los números tenían relaciones especiales (como que uno sea un múltiplo del otro), podían construir la solución. Pero para un menú general como $\{3, 7, 11\}$ , o cualquier mezcla aleatoria de números, la pregunta quedaba en el aire: ¿Existe siempre un equipo mínimo? Algunos trabajos anteriores sugerían que si los huecos eran demasiado regulares, podrías no encontrar un equipo mínimo, pero si eran lo suficientemente caóticos, podrías. Los autores de este artículo querían resolver la disputa para cualquier menú finito de huecos.

El Plan Maestro: Construyendo el Puente
Tang y He no solo dijeron "existe". Ellos lo construyeron. Su prueba es como el plano arquitectónico para construir un puente que cruza un cañón infinito. Dividieron su construcción en dos escenarios principales, dependiendo del número más pequeño en su menú $S$ .

Escenario 1: El Menú Incluye el Número 1
Si tu hueco más pequeño es 1, la construcción es algo así como tender un camino largo y sinuoso. Los autores comienzan con un trozo de piedras pequeño y manejable. Luego, utilizan un método inductivo ingenioso (construcción paso a paso) para extender el camino para siempre.

Crean "bloques" de piedras.
Dentro de estos bloques, utilizan una herramienta matemática (relacionada con el "Problema de la Moneda de Frobenius", que pregunta cómo hacer cambio con denominaciones de monedas específicas) para asegurar que los huecos entre las piedras coincidan con los números en su menú $S$ .
Colocan cuidadosamente "piedras de ayuda" (el conjunto $C$ ) a intervalos específicos.
La magia ocurre en las "transiciones" entre bloques. Organizan los huecos para que las piedras de ayuda puedan alcanzar cada entero, pero si eliminas incluso una ayuda, un "hueco" específico aparece que ninguna otra ayuda puede llenar. Demuestran que los huecos entre las piedras en su construcción se vuelven cada vez más grandes de una manera específica, asegurando que el patrón nunca se repita, pero que el equipo mínimo de ayudantes aún funcione perfectamente.

Escenario 2: El Menú Comienza con un Número Mayor que 1
Esta es la parte más difícil. Si tu hueco más pequeño es, por ejemplo, 3 o 5, no puedes simplemente rellenar los huecos con pasos individuales. Los autores tuvieron que ser creativos.

Se dieron cuenta de que si los números en el menú no comparten un divisor común (son "primos entre sí" en un sentido de grupo), aún pueden construir el camino.
Construyeron una estructura más compleja donde las "piedras de ayuda" vienen en grupos o cúmulos pequeños.
Utilizaron un argumento de conteo sofisticado para mostrar que, aunque los huecos son más grandes, la disposición de los cúmulos de ayuda crea una "red" que atrapa cada entero.
Crucialmente, demostraron que los "huecos" dejados por la eliminación de un ayudante son únicos para ese ayudante específico. Es como un sistema de cerradura y llave: el Ayudante A abre una cerradura específica, y ningún otro ayudante tiene la llave. Si quitas al Ayudante A, esa cerradura permanece cerrada y la cobertura falla.

El Veredicto
La construcción de los autores es rigurosa. No simularon esto en una computadora ni sugirieron que podría ser cierto; proporcionaron una prueba matemática. Mostraron que para cualquier conjunto finito de enteros positivos $S$ con al menos dos elementos, puedes crear una secuencia de huecos que no se repite usando solo números de $S$ , y que para esa secuencia, un complemento aditivo mínimo siempre existe.

Efectivamente cerraron el libro sobre esta versión específica del problema. La respuesta a la pregunta "¿Es cierto que para cualquier conjunto finito de $S$ ..." es un "sí" definitivo. El artículo confirma que la naturaleza caótica y no repetitiva de los huecos no impide la existencia de un equipo de ayudantes perfecto y mínimo. De hecho, el propio caos del patrón es lo que permite a los autores diseñar la solución, asegurando que cada ayudante sea indispensable y que todo el número entero esté cubierto.

Resumen Técnico: Sobre un problema de complementos aditivos mínimos para conjuntos de diferencias- $S$ no eventualmente periódicos

Planteamiento del Problema
El artículo aborda un problema específico en la teoría de números aditiva relativo a la existencia de complementos aditivos mínimos para conjuntos infinitos de enteros. Sean $C$ y $W$ subconjuntos de enteros. $C$ es un complemento aditivo de $W$ si $C + W = \mathbb{Z}$ . $C$ es un complemento aditivo mínimo si ningún subconjunto propio de $C$ satisface esta condición.

Si bien la existencia de complementos mínimos para conjuntos finitos y ciertos conjuntos infinitos (como aquellos con brechas no acotadas o estructuras periódicas específicas) ha sido establecida por Nathanson, Chen, Yang, Kiss, Sándor y otros, el caso de los conjuntos no eventualmente periódicos con brechas acotadas permanece menos comprendido. Específicamente, Ma y Chen [14] plantearon el siguiente problema (Problema 1.3 en su trabajo):

Sea $S$ un conjunto finito de enteros positivos con $|S| \ge 2$ . ¿Existe un conjunto no eventualmente periódico e infinito $W = \{w_1 < w_2 < \dots\} \subseteq \mathbb{N}$ tal que:

$W$ tenga un complemento aditivo mínimo;

La diferencia entre elementos consecutivos $w_{i+1} - w_i$ pertenezca a $S$ para todo $i$ ;

Cada elemento $s \in S$ ocurra como una diferencia $w_{i+1} - w_i$ para infinitos índices $i$ ?

Tal conjunto $W$ se denomina un conjunto de diferencias- $S$ INEP (conjunto de diferencias- $S$ Infinito, No eventualmente Periódico). Resultados previos habían resuelto subcasos específicos (por ejemplo, cuando los elementos de $S$ se dividen entre sí, o cuando $\gcd(s_1, s_2)=1$ con restricciones modulares específicas), pero faltaba una solución general para un $S$ arbitrario.

Metodología
Los autores, Tang y He, proporcionan una respuesta afirmativa al Problema 2 mediante la construcción de tales conjuntos y sus correspondientes complementos mínimos. La metodología se basa en una construcción inductiva del conjunto $W$ y un conjunto $C$ cuidadosamente diseñado.

Reducción mediante Escalamiento: Los autores primero utilizan el Lema 2.2 para reducir el caso general al escenario donde $\gcd(s_1, \dots, s_l) = 1$ . Demuestran que si existe un complemento mínimo para un conjunto escalado hacia abajo, un complemento mínimo puede construirse para el conjunto escalado hacia arriba $dW$.
Construcción Inductiva: La prueba se divide en dos casos basados en el elemento más pequeño de $S$ $S$ , denotado como $s_1$ $s_{1}$ :
- Caso 1 ( $s_1 = 1$ ): Los autores construyen las sucesiones $\{d_i\}$ ${d_{i}}$ , $\{W_i\}$ ${W_{i}}$ y $\{c_i\}$ ${c_{i}}$ de forma inductiva. El conjunto $W$ $W$ se construye en etapas, donde cada etapa $W_i$ $W_{i}$ añade tres subconjuntos disjuntos ( $V^{(1)}_{i-1}, V^{(2)}_{i-1}, V^{(3)}_{i-1}$ $V_{i - 1}^{(1)}, V_{i - 1}^{(2)}, V_{i - 1}^{(3)}$ ) al conjunto anterior $W_{i-1}$ $W_{i - 1}$ .
  - Paso 1: Llena un intervalo específico utilizando pasos de tamaño 1 (ya que $s_1=1$ ) y el elemento más grande $s_l$ .
  - Paso 2 y 3: Utiliza el Lema 2.1 (un resultado sobre el problema de la moneda de Frobenius) para expresar las longitudes de los intervalos como combinaciones lineales positivas de los elementos de $S$ . Esto permite a los autores llenar las brechas con pasos que pertenecen estrictamente a $S$ , asegurando la propiedad del conjunto de diferencias.
  - El conjunto $C$ se construye como $\{c_i\}_{i=1}^\infty$ , donde los $c_i$ son elegidos para satisfacer desigualdades específicas que aseguran que $C$ cubra $\mathbb{Z}$ cuando se suma a $W$ , pero que ningún elemento pueda ser eliminado sin romper la cobertura.
- Caso 2 ( $s_1 \ge 2$ ): Este caso es más complejo ya que el tamaño de paso 1 no está disponible. Los autores construyen las sucesiones $\{d_i\}$ ${d_{i}}$ , $\{W_i\}$ ${W_{i}}$ y un conjunto de parámetros $\{c^{(1)}_i, \dots, c^{(s_1)}_i\}$ ${c_{i}^{(1)}, \dots, c_{i}^{(s_{1})}}$ .
  - Definen una función $h(s_1; r)$ basada en el resto $r$ cuando un $s_j$ específico es dividido por $s_1$ .
  - La construcción implica la creación de bloques de elementos con propiedades modulares específicas. El conjunto $C$ se construye como una unión de $s_1$ progresiones aritméticas (desplazadas) en cada etapa.
  - De manera similar al Caso 1, se emplea el Lema 2.1 para llenar los intervalos con pasos de $S$ . La construcción asegura que las "brechas" entre los bloques construidos sean llenadas por la estructura específica de $C$ , mientras que las brechas internas de $W$ permanecen dentro de $S$ .
Verificación de la Minimalidad: Para ambos casos, los autores prueban rigurosamente que el $C$ construido es un complemento mínimo. Esto implica demostrar que para cualquier $n \in \mathbb{Z}$ , $n \in W+C$ , y para cualquier elemento específico $c \in C$ , existe un entero $n$ tal que $n \in W+c$ pero $n \notin W + (C \setminus \{c\})$ . Esto se logra analizando los "huecos" específicos creados en el conjunto suma cuando se elimina un elemento, aprovechando las definiciones inductivas de $d_i$ y la disjuntividad de los conjuntos construidos.

Resultados Clave
El artículo establece el siguiente teorema principal:

Teorema 1.1: Sea $l \ge 2$ un entero positivo y $S = \{s_1, s_2, \dots, s_l\}$ un conjunto de enteros positivos con $1 \le s_1 < s_2 < \dots < s_l$ . Existe un conjunto de diferencias- $S$ INEP $W$ y existe un complemento mínimo para $W$ .

Este resultado generaliza los teoremas previos (Teoremas E, F y G en la introducción) que estaban limitados a relaciones específicas entre los elementos de $S$ (por ejemplo, divisibilidad o condiciones de coprimalidad). El presente trabajo elimina estas restricciones, probando la existencia para cualquier conjunto finito $S$ con $|S| \ge 2$ .

Significado y Reivindicaciones
Los autores afirman que su trabajo proporciona un marco de prueba unificado que extiende el alcance de los resultados conocidos a conjuntos de diferencias- $S$ arbitrarios. Al resolver el Problema 2 planteado por Ma y Chen, el artículo resuelve la cuestión de la existencia de complementos aditivos mínimos en el contexto de conjuntos infinitos, no eventualmente periódicos con brechas acotadas definidas por un conjunto de diferencias- $S$ finito arbitrario.

El artículo no pretende resolver el problema para conjuntos donde $|S|=1$ (que es trivial o imposible dependiendo de la periodicidad) ni pretende caracterizar todos tales conjuntos, sino más bien probar la existencia de al menos uno de tal conjunto para cualquier $S$ válido dado. El trabajo se basa en las ideas constructivas de los Teoremas F y G, pero las sintetiza para manejar el caso general.

Conclusión
El artículo responde con éxito al problema abierto sobre la existencia de complementos aditivos mínimos para conjuntos de diferencias- $S$ no eventualmente periódicos. A través de una sofisticada construcción inductiva que utiliza el problema de la moneda de Frobenius (Lema 2.1) y un control cuidadoso de la aritmética modular, los autores demuestran que para cualquier conjunto finito de enteros positivos $S$ con cardinalidad al menos 2, se puede construir un conjunto $W$ infinito y no periódico con diferencias en $S$ que admite un complemento aditivo mínimo.

La historia de los rellenos de huecos

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