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On non-symmetric $t$ -convexity

Este artículo resuelve una pregunta planteada por Zsolt Páles al demostrar que cualquier función $f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ que satisfaga la desigualdad $f\left(\frac{x+2y}{3}\right) \le \frac{f(x)+2f(y)}{3}$ para todo $x\le y$ debe ser necesariamente midconvexa.

Autores originales: Paolo Leonetti

Publicado 2026-08-04

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CC0 1.0

Autores originales: Paolo Leonetti

Artículo original dedicado al dominio público bajo CC0 1.0 (http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/). ✨ Esta es una explicación generada por IA del artículo a continuación. No ha sido escrita ni avalada por los autores. Para mayor precisión técnica, consulte el artículo original. Leer descargo de responsabilidad completo

Imagina un mundo donde las reglas de la "curvatura" cambian ligeramente dependiendo de hacia qué lado mires. En la rama de las matemáticas conocida como análisis funcional, los científicos estudian las funciones —piensa en ellas como máquinas que toman un número, lo procesan y escupen otro número—. Una regla clásica para estas máquinas se llama "convexidad". Si visualizas una función como una curva, una curva convexa es como una cara sonriente o un cuenco; nunca baja por debajo de una línea recta trazada entre dos puntos. Esta es la regla del "punto medio": si eliges dos puntos, el lugar exactamente en medio de la curva debe ser más bajo que (o igual a) el lugar exactamente en medio de la línea recta que conecta ambos puntos.

Pero, ¿qué pasa si cambiamos las reglas? ¿Qué ocurre si no comprobamos el medio exacto, sino un punto que está a un tercio de camino de un lado y a dos tercios del otro? Esto se llama "t-convexidad", donde "t" es solo una letra elegante para esa fracción específica. Ahora, aquí viene el giro: normalmente las reglas matemáticas se aplican sin importar en qué orden pongas tus números. Pero en este rincón específico de las matemáticas, los investigadores se hicieron una pregunta difícil: ¿Qué pasaría si la regla solo tiene que cumplirse cuando pones el número más pequeño primero y el más grande después? Esto es la convexidad "no simétrica". Es como decir que un cuenco debe parecer un cuenco solo si lo miras de izquierda a derecha, pero tal vez puede ser extraño si lo miras de derecha a izquierda. Durante mucho tiempo, los matemáticos se preguntaron si una función podría seguir esta regla de "una sola vía" sin ser realmente una curva convexa de "dos vías".

En este artículo, el matemático Paolo Leonetti aborda una versión específica de este rompecabezas. Se centra en el caso donde el valor de "t" es exactamente 1/3. La pregunta, planteada originalmente por Zsolt Páles, era sencilla de hacer pero difícil de responder: ¿Existe una función que siga la regla de "una sola vía" para el punto 1/3, pero que falle la regla de "dos vías"? En otras palabras, ¿puede una función ser "no simétricamente 1/3-convexa" sin ser "1/3-convexa" (que en este caso específico es lo mismo que ser "midconvexa")?

La respuesta de Leonetti es un "no" definitivo. Él demuestra que si una función obedece la regla de "una sola vía" para la marca de 1/3, la matemática la obliga a obedecer también la regla de "dos vías". No hay escapatoria. La función no puede desviarse.

Para entender cómo lo demostró, imagina la función como una banda de caucho elástica estirada entre dos puntos. La regla "no simétrica" dice que si tiras de la banda en el punto 1/3, esta debe permanecer por debajo de cierta línea, pero solo si tiras desde el lado izquierdo hacia el derecho. Leonetti demostró que si intentas construir una banda de caucho que siga esta regla pero que se doble de la forma incorrecta cuando la miras desde el otro lado, las matemáticas simplemente se rompen. La tensión en la banda se vuelve imposible de mantener.

La demostía funciona como un efecto dominó. Leonetti comienza asumiendo que tal función "desviada" existe. Luego utiliza un ingenioso truco matemático para estirar y encoger la función, creando una secuencia de puntos que se acercan cada vez más a cero. Demuestra que, si la función estuviera desviada, los valores en estos puntos tendrían que crecer infinitamente, más rápido de lo que cualquier número real puede hacerlo. Es como intentar llenar un cubo con agua donde el cubo se hace más pequeño cada vez que viertes, pero el volumen de agua se duplica. Eventualmente, el cubo tendría que contener una cantidad infinente de agua, lo cual es imposible. Dado que la suposición conduce a una imposibilidad, la función "desviada" no puede existir.

El artículo no se detiene solo en 1/3. Sugiere que esta regla de "no desviación" también se cumple para otras fracciones, como 1/4, 1/5 y 1/6. De hecho, el autor muestra que el conjunto de números donde esta regla se cumple es "denso", lo que significa que si eliges cualquier punto aleatorio entre 0 y 1, puedes encontrar un número muy cercano donde la regla funcione. Sin embargo, todavía queda un misterio sin resolver: el artículo deja abierta la cuestión de si esto se aplica a todos los números algebraicos (un tipo específico de número que involucra raíces y fracciones), o si todavía existen algunos números ocultos y complicados donde una función desviada podría esconderse. Por ahora, sin embargo, para el caso específico de 1/3, la puerta está cerrada: la convexidad no simétrica es solo la convexidad regular disfrazada.

Resumen Técnico: Sobre la $t$ -convexidad no simétrica

Planteamiento del Problema
El artículo aborda una pregunta específica sobre la relación entre la $t$ -convexidad no simétrica y la $t$ -convexidad estándar para funciones de valores reales. Se define una función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ como no simétricamente $t$ -convexa si la desigualdad
$f(tx + (1-t)y) \leq tf(x) + (1-t)f(y)$
se cumple para todo $x \leq y$ . Si la desigualdad se cumple para todo $x, y \in \mathbb{R}$ , la función es simplemente $t$ -convexa.

Es un resultado conocido que para un $t \in (0, 1)$ fijo, las funciones no simétricamente $t$ -afines son necesariamente $t$ -afines. Sin embargo, Lewicki y Olbryś demostraron que esta implicación falla para la convexidad cuando $t$ es un número trascendente; ellos construyeron una función no simétricamente $t$ -convexa que no es $t$ -convexa. Esto deja abierta la cuestión para valores racionales específicos de $t$ . Específicamente, Zsolt Páles preguntó si existe una función no simétricamente $t$ -convexa que no sea $t$ -convexa cuando $t = 1/3$ . Dado que la $1/3$ -convexidad es equivalente a la midconvexidad (1/2-convexidad) en el contexto de parámetros racionales, la pregunta es si la no simétrica $1/3$ -convexidad implica la midconvexidad.

Metodología
El autor, Paolo Leonetti, emplea un enfoque de desigualdad funcional para establecer un criterio general de equivalencia entre la $t$ -convexidad no simétrica y la simétrica.

Criterio General (Proposición 2.1): El núcleo de la prueba es una proposición que establece que para un $t \in (0, 1/2)$ fijo, si existen una constante $C > 1-t$ , un conjunto finito de pares ordenados $\{(u_i, v_i)\}$ con $u_i \leq v_i$ , coeficientes no negativos $\mu_i$ , y un número real $\eta$ tales que una combinación lineal específica de los funcionales de "defecto" $J_{t,\phi}$ es igual a una combinación lineal específica de valores de la función, entonces toda función no simétricamente $t$ -convexa es $t$ -convexa.
El funcional de defecto se define como $J_{t,\phi}(u, v) = t\phi(u) + (1-t)\phi(v) - \phi(tu + (1-t)v)$ .
Prueba por Contradicción e Iteración: Asumiendo la existencia de una función $f$ no simétricamente $t$ -convexa que no es $t$ -convexa, el autor construye una función auxiliar $F$ (mediante transformación afín) tal que $F(0)=F(1)=0$ y $F(t) > 0$ . Al aplicar el criterio general a versiones escaladas de esta función, el autor deriva una relación de recurrencia que involucra la secuencia $G_n = f(t^{n+1}) - tf(t^n)$ .
La prueba demuestra que bajo la condición $C > 1-t$ , la secuencia $G_n$ crece geométricamente, lo que conduce a una contradicción donde el valor de la función en un punto negativo específico debe ser infinito, lo cual es imposible para una función de valores reales.
Construcción Explícita para $t=1/3$ : Para aplicar el criterio general al caso específico de $t=1/3$ , el autor construye explícitamente los parámetros requeridos:
- $C = 8/3$
- $\eta = 10/9$
- Tres pares de puntos: $(1/9, 4/9)$ , $(0, 2/3)$ , y $(0, 1)$ .
- Coeficientes: $\mu_1 = 3$ , $\mu_2 = 2$ , $\mu_3 = 4/3$ .
  El autor verifica que la combinación lineal de los términos $J_{1/3, \phi}$ utilizando estos parámetros produce la identidad requerida, satisfaciendo así las condiciones de la Proposición 2.1.

Contribuciones Clave y Resultados

Teorema 1.3: El resultado principal es la respuesta negativa a la pregunta de Páles. El artículo demuestra que para $t = 1/3$ , toda función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ no simétricamente $t$ -convexa es necesariamente $t$ -convexa.
Generalización: La metodología establece que el conjunto $T$ de todos los $t \in (0, 1)$ para los cuales la $t$ -convexidad no simétrica implica la $t$ -convexidad contiene a $1/2$ (trivial) y $1/3$ (probado).
Propiedades Estructurales de $T$ :
- Simetría: El conjunto $T$ es simétrico alrededor de $1/2$ (es decir, $t \in T \iff 1-t \in T$ ).
- Densidad: El conjunto $T$ es denso en el intervalo $(0, 1)$ . Esto se demuestra mediante una construcción que involucra palabras finitas y mapeos polinómicos que generan un conjunto denso de parámetros que satisfacen la condición de convexidad.
- Elementos Específicos: El artículo señala que cálculos similares muestran que $1/k \in T$ para $k \in \{4, 5, 6\}$ , y que números algebraicos específicos como $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ y $\frac{3-\sqrt{5}}{2}$ pertenecen a $T$ .

Significado y Preguntas Abiertas
El artículo resuelve un problema abierto planteado por Zsolt Páles respecto al caso $t=1/3$ , confirmando que el fallo de la implicación para $t$ trascendente no se extiende a este caso racional. El trabajo proporciona un método constructivo (Proposición 2.1) para determinar si otros valores racionales o algebraicos de $t$ pertenecen al conjunto $T$ .

El autor concluye señalando que, aunque $T$ es denso y contiene muchos números algebraicos, sigue siendo una pregunta abierta si $T$ contiene todos los números algebraicos en $(0, 1)$ . El artículo no propone más aplicaciones o direcciones experimentales, centrándose estrictamente en la caracterización teórica de estas desigualdades funcionales.

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