Counterexamples to the Jacobian conjecture in dimensions greater than two

Resumen Técnico: Contraejemplos a la Conjetura de Jacobiano en Dimensiones Mayores a Dos

Planteamiento del Problema
La conjetura de Jacobiano, planteada por Keller en 1939, afirma que cualquier aplicación polinómica $F: \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n$ con un determinante jacobiano constante y distinto de cero (una aplicación de Keller) debe ser un automorfismo polinómico (es decir, poseer una inversa polinómica). Si bien la conjetura sigue abierta para $n=2$, este artículo aborda el estado de la conjetura para dimensiones $n > 2$. El trabajo se basa en la refutación de la conjetura en dimensión tres anunciada por Alpöge (19 de julio de 2026), que proporcionó un contraejemplo específico, y en la subsiguiente construcción de una familia infinita de contraejemplos de Gallagher. El problema central abordado aquí es generalizar el mecanismo detrás de estos contraejemplos a todas las dimensiones $n > 2$ y construir ejemplos explícitos con grados geométricos arbitrariamente grandes.

Metodología
El artículo emplea una construcción geométrica basada en el mecanismo de "barrido de tangentes" (tangent sweep), originalmente aislado por Speyer. La metodología procede en tres etapas principales:

1. Barrido de Tangentes: El autor construye una aplicación polinómica barriendo un campo de direcciones tangentes sobre una hipersuperficie parametrizada. Para una hipersuperficie parametrizada $X: \mathbb{C}^{n-2} \to \mathbb{C}^{n-1}$ y un campo de tangencia polinómico $\Delta$, se define una aplicación de "barrido con relleno" (padded sweep) $F_0$. Se demuestra que el determinante jacobiano de este barrido es un polinomio en una variable multiplicadora $\gamma$, específicamente de la forma $\det J(F_0) = \sum L_k \gamma^{k+1}$.
2. Selección de Ramas y Normalización: La construcción depende de la selección de "ramas" específicas donde el determinante jacobiano se simplifica a un término de tipo monomio $c \gamma^{k+1}$. Esto requiere satisfacer criterios de tangencia ($\det(\Delta, J(X)) \equiv 0$) y condiciones de normalización donde coeficientes específicos $L_k$ se anulan o se convierten en constantes. El artículo analiza diferentes tipos de campos de dirección (tipo curva, tautológicos y mixtos) para determinar qué ramas están disponibles en diversas dimensiones.
3. Giro Monomial (Monomial Twist): Para convertir el barrido (que tiene un jacobiano no constante) en una aplicación de Keller (jacobiano constante), el autor aplica un "giro monomial". Esto implica la composición del barrido con aplicaciones monomiales y una etapa afín para cancelar el factor $\gamma$ en el jacobiano. Este proceso introduce "condiciones laterales" (restricciones de divisibilidad) sobre los coeficientes de los polinomios que definen la hipersuperficie. Crucialmente, este giro empuja el lugar de ramificación (donde la aplicación deja de ser inyectiva) hacia el infinito, resultando en una aplicación que es everywhere unramified (étale) pero no propia.

Contribuciones Clave y Resultados

• Marco General: El artículo establece una construcción general válida para cada dimensión $n > 2$. Demuestra que, al barrer campos de direcciones tangentes sobre hipersuperficies parametrizadas y aplicar el giro monomial, se pueden generar contraejemplos de Keller en cualquier dimensión $n \ge 3$.
• Grado Geométrico Arbitrario: La construcción produce contraejemplos de grado geométrico arbitrariamente grande (el número de puntos en una fibra genérica). Para $n=3$, esto recupera la familia de Gallagher. Para $n \ge 4$, el campo de dirección de tipo curva permite aumentar el grado geométrico arbitrariamente mediante la elección de datos de alto grado.
• Cinco Contraejemplos Explícitos: El autor desarrolla cinco nuevas aplicaciones polinómicas explícitas:
  • Dimensión 3: Una aplicación $G$ con grados de componentes 4, 11 y 12 (grado geométrico 4), basada en una curva racional cuártica con dos cúspides y un nodo.
  • Dimensión 4:
    • $F_4$: Una aplicación con grados de componentes 4, 11, 12 y 21 (grado geométrico 5) derivada de una superficie reglada no cilíndrica.
    • $F_5$: Una aplicación con grados de componentes 3, 12, 14 y 16 (grado geométrico 10) derivada de la "rama M" de un campo de dirección mixto.
  • Dimensión 5:
    • $F_6$: Una aplicación con grados de componentes 7, 38, 40, 42 y 44 (grado geométrico 6) derivada de la "rama inferior" de un campo de dirección mixto $\Delta = (1, w_1, w_1^2, w_2)^T$.
    • $F_7$: Una aplicación con grados de componentes 7, 86, 89, 92 y 95 (grado geométrico 12) derivada del campo de dirección de "tipo curva", utilizando datos de tipo Keller transversales.
• Análisis de la Estructura de las Fibras: El artículo proporciona descripciones detalladas de las estructuras de las fibras para estas aplicaciones. Prueba que el tamaño de la fibra genérica es igual al grado geométrico, mientras que fibras específicas degeneran a tamaños menores (o quedan vacías) sobre loci específicos (por ejemplo, la hipersuperficie de Jelonek). Por ejemplo, la aplicación $G$ alcanza todos los tamaños de fibra en $\{4, 3, 2, 1, 0\}$.
• Fenómeno de Rigidez: En dimensión 5, el análisis de la "rama media" para el campo de dirección mixto revela un fenómeno de rigidez. La ecuación gobernante para esta rama degenera en una ecuación de transporte lineal sobre un locus de invariancia característica, lo que sugiere que los datos genuinamente de cinco dimensiones no pueden realizar esta rama; las soluciones parecen ser suspensiones de barridos de cuatro dimensiones.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma proporcionar un relato autónomo del mecanismo de barrido de tangentes, generalizándolo de curvas planas a campos de dirección en hipersuperficies. Su principal significancia radica en:

1. Completar la Refutación: Confirma que la conjetura de Jacobiano es falsa para todas las dimensiones $n > 2$, proporcionando un mecanismo unificado para los contraejemplos en todas dichas dimensiones.
2. Explicitud: A diferencia de otras pruebas de existencia abstractas, este trabajo proporciona cinco aplicaciones polinómicas totalmente explícitas con determinantes jacobianos y estructuras de fibras verificados.
3. Perspectiva Geométrica: Clarifica la naturaleza geométrica de los contraejemplos: son recubrimientos étale $\mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n$ que fallan en ser inyectivos únicamente porque las preimágenes distintas escapan al infinito en lugar de colisionar en puntos finitos.
4. Propagación: La construcción permite la propagación de contraejemplos a lo largo de la secuencia $n \mapsto n+3$, sugiriendo que los contraejemplos en dimensiones menores pueden servir como datos para construir contraejemplos en dimensiones superiores.

El autor señala que todas las identidades polinómicas y los conteos de fibras fueron verificados utilizando aritmética racional exacta y bases de Gröbner donde fue factible. Reconoce que la estratificación completa de las fibras para las aplicaciones de mayor dimensión ($F_4$ a $F_7$) sigue siendo un tema para trabajos futuros, aunque los conteos de fibras genéricas están rigurosamente establecidos.