Cyclic-by-abelian counterexamples to the second and third Zassenhaus conjectures

Resumen Técnico: Contraejemplos de tipo cíclico-por-abeliano para las segundas y terceras conjeturas de Zassenhaus

Planteamiento del problema
El artículo aborda la validez de la segunda y tercera conjetura de Zassenhaus ((ZC2) y (ZC3)) dentro de la clase de los grupos finitos cíclicos-por-abelianos.

• (ZC2) afirma que toda base de grupo del anillo de grupos íntegros $\mathbb{Z}G$ es conjugada a $G$ dentro del grupo de unidades $U(\mathbb{Q}G)$.
• (ZC3) afirma que todo subgrupo finito del grupo de unidades normalizadas $V(\mathbb{Z}G)$ es conjugado en $U(\mathbb{Q}G)$ a un subgrupo de $G$.

Si bien (ZC1) fue refutada recientemente para grupos metabelianos por Eisele y Margolis, e (ZC2)/(ZC3) fueron previamente refutadas para grupos metabelianos generales por Roggenkamp, Scott, Klingler y Hertweck, el estatus de estas conjeturas para la subclase específica de grupos cíclicos-por-abelianos (donde el subgrupo derivado $G'$ es cíclico) permanecía abierto. Margolis y del Río habían preguntado explícitamente si (ZC3) se cumple para esta clase. El artículo tiene como objetivo resolver esta cuestión mediante la construcción de un contraejemplo.

Metodología
La construcción sigue y extiende el marco establecido por el contraejemplo de Hertweck de 2002. La metodología se basa en un argumento de pegado integral uniforme utilizando diagramas de tracción (pullback) de anillos y automorfismos.

1. Construcción del grupo:
   El autor define una familia de grupos $G_r = (M \times N \times Q) \rtimes W$, donde:

• $M \cong C_5$, $N \cong C_3$ y $Q \cong C_r$ (con $\gcd(r, 30)=1$).
• $W = C_8 \rtimes (C_2 \times C_2)$ es un grupo específico de orden 32 que actúa diagonalmente sobre el subgrupo normal $F = M \times N \times Q$.
• A diferencia del ejemplo original de Hertweck donde $Q \cong C_3$ (haciendo que $N \times Q \cong C_3^2$ y el subgrupo derivado no sea cíclico), la elección de $Q \cong C_r$ con $\gcd(r, 30)=1$ asegura que el subgrupo derivado $G'_r \cong C_{60r}$ sea cíclico, satisfaciendo la condición de cíclico-por-abeliano.

2. Construcción del automorfismo:
   El núcleo de la construcción es un automorfismo de preservación de aumentación $\alpha_r \in \text{Aut}(\mathbb{Z}G_r)$. Este se construye mediante una estrategia de "doble-cociente de tracción" (double-quotient pullback):

• Cocientes: El anillo $\mathbb{Z}G$ se descompone mediante tracciones involucrando los cocientes $G_3 = G/M$ y $G_5 = G/N$.
• Automorfismos locales:
  • Sobre el cociente $H = G/MN \cong Q \rtimes W$, se define un automorfismo externo $\sigma$ (que intercambia un generador $c$ con $zc$).
  • Sobre los cocientes más grandes $G_3$ y $G_5$, el artículo demuestra que todos los automorfismos de preservación de clase son internos (Proposición 3.5).
• Pegado (Gluing): El autor construye automorfismos en los anillos íntegros de los cocientes ($\mathbb{Z}G_3$ y $\mathbb{Z}G_5$) que concuerdan en el cociente común $\mathbb{Z}H$ módulo congruencias específicas. Esto implica:
  • El uso de unidades ciclotómicas y automorfismos de signo ($\varepsilon_u, \varepsilon_v$) derivados de elementos $m, n$.
  • La construcción de una unidad íntegra específica $\nu$ y el uso de una unidad $t$ en el cociente ciclotómico para satisfacer las congruencias de frontera módulo 3 y 5.
  • Asegurar que el "pegado integral" sea independiente del orden de $Q$ (Proposición 6.3).

3. Análisis de la obstrucción:
   Se demuestra que el automorfismo construido $\alpha_r$ no posee una factorización de Zassenhaus (es decir, no puede escribirse como un automorfismo central compuesto con un automorfismo de grupo). Esto se logra demostrando que, si tal factorización existiera, induciría un automorfismo interno en el cociente $H$, contradiciendo el hecho de que el mapa inducido $\sigma_H$ es externo.

Resultados clave

• Teorema 1.1: Para cualquier $r > 1$ con $\gcd(r, 30)=1$, existe un grupo cíclico-por-abeliano finito $G_r$ y un automorfismo $\alpha_r \in \text{Aut}(\mathbb{Z}G_r)$ tal que:
  1. $|G_r| = 480r$ y $G'_r \cong C_{60r}$.
  2. $\alpha_r$ no tiene factorización de Zassenhaus.
  3. La imagen $Y_r = \alpha_r(G_r)$ es una base de grupo normalizada de $\mathbb{Z}G_r$ que no es conjugada a $G_r$ en $U(\mathbb{Q}G_r)$.
• Corolario 1.2: Aunque $Y_r$ no es simultáneamente conjugada racionalmente a $G_r$, cada elemento individual $y \in Y_r$ es conjugado racionalmente a algún elemento $g \in G_r$.
• Ejemplo más pequeño: El miembro más pequeño de esta familia ocurre en $r=7$, produciendo un grupo de orden 3360 con un subgrupo derivado $C_{420}$.

Significado y afirmaciones
El artículo afirma resolver un problema abierto planteado por Margolis y del Río respecto a la validez de (ZC2) y (ZC3) para grupos cíclicos-por-abelianos.

• Resolución negativa: Establece que (ZC2) y (ZC3) fallan para la clase de los grupos cíclicos-por-abelianos.
• Distinción estructural: Los contraejemplos resaltan una distinción entre la conjugación racional puntual (que se cumple para las unidades de torsión individuales en estos grupos, según Caicedo, Margolis y del Río) y la conjugación racional simultánea de una base de grupo completa.
• Uniformidad: La construcción extiende el ejemplo de Hertweck de manera uniforme. El artículo enfatiza que la obstrucción de preservación de clase y el mecanismo de pegado integral son independientes del orden del factor auxiliar $Q$, siempre que se cumpla la condición de coprimalidad. Esto permite una familia de contraejemplos en lugar de un caso aislado único.

El trabajo no propone nuevas aplicaciones o direcciones experimentales futuras, sino que se enfoca estrictamente en la refutación teórica de las conjeturas dentro de esta clase específica de grupos, utilizando la maquinaria de los anillos de grupos íntegros, las construcciones de tracción (pullback) y los automorfismos de preservación de clase.