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A note on the partition function of a rectangle

Este artículo investiga el comportamiento asintótico de las funciones de partición de rectángulos, estableciendo que el número de formas de particionar un cuadrado de $n \times n$ crece como $\exp\left( \left(\frac{\pi}{\sqrt{3}}+o(1)\right)n\sqrt{\log n} \right)$ mientras que las particiones de un rectángulo de $3 \times n$ crecen como $\exp\left( \pi\sqrt{\frac{11n}{3}}+O(\log n) \right)$ .

Autores originales: Krystian Gajdzica, Maciej Zakarczemny

Publicado 2026-08-11

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CC BY 4.0

Autores originales: Krystian Gajdzica, Maciej Zakarczemny

Artículo original bajo licencia CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Esta es una explicación generada por IA del artículo a continuación. No ha sido escrita ni avalada por los autores. Para mayor precisión técnica, consulte el artículo original. Leer descargo de responsabilidad completo

Imagina que eres un maestro constructor con un suministro infinito de piezas de Lego, pero con un giro: solo puedes usar ladrillos rectangulares, y debes construir una pared perfecta y sólida sin huecos ni solapamientos. Ahora, imagina que tienes el plano específico para una pared que es un cuadrado perfecto, digamos de $n$ bloques de ancho y $n$ bloques de alto. La pregunta que los matemáticos aman hacer es: "¿De cuántas maneras diferentes puedes organizar estos ladrillos para llenar ese cuadrado?". Esto no se trata solo de apilarlos en una línea; se trata de mezclar y combinar diferentes tamaños—pequeños cuadrados de $1\times1$ , tiras largas de $1\times5$ , o bloques robustos de $2\times3$ . En el mundo de las matemáticas, esto se llama una "partición", y contar estas disposiciones es como intentar contar todas las formas posibles de resolver un rompecabezas gigante y complejo.

Durante mucho tiempo, los matemáticos se han obsesionado con contar estas disposiciones para números simples (como simplemente sumar enteros para obtener un total). Pero cuando pasas de una línea plana de números a un rectángulo en 2D, el problema explota en complejidad. Es como pasar de organizar libros en un solo estante a llenar una biblioteca entera con libros de diferentes formas y tamaños. Este artículo en particular profundiza en dos versiones muy complicadas de este rompecabezas: una donde el plano es un cuadrado perfecto ( $n \times n$ ), y otra donde el plano es un rectángulo muy largo y delgado ( $3 \times n$ ). ¿Por qué es esto importante? Porque estos patrones aparecen en todas partes en la naturaleza y la física, desde cómo se agrupan los átomos hasta cómo se comportan los niveles de energía. Comprender la "tasa de crecimiento" de estos patrones—qué tan rápido se dispara el número de posibilidades a medida que la pared se hace más grande—es como encontrar el código secreto que gobierna cómo se construye la complejidad en nuestro universo.

Entonces, ¿qué descubrieron realmente los autores de este artículo? No se limitaron a adivinar; construyeron un puente matemático riguroso para cruzar de lo conocido a lo desconocido. Primero, abordaron el cuadrado ( $n \times n$ ). Demostraron que, a medida que el cuadrado se vuelve enorme, el número de formas de cubrirlo crece a un ritmo muy específico y salvaje. No es solo una explosión simple; es un crecimiento "super-exponencial" que depende del tamaño del cuadrado multiplicado por la raíz cuadrada de su logaritmo. En lenguaje sencillo, encontraron que el número de formas de cubrir un cuadrado es aproximadamente $e$ elevado a la potencia de $(\pi/\sqrt{3}) \times n \times \sqrt{\log n}$ . También proporcionaron límites superior e inferior más simples, "suficientemente buenos", para demostrar que su respuesta principal es sólida, incluso si la fórmula exacta es un poco compleja.

Luego, dirigieron su atención al rectángulo largo y delgado ( $3 \times n$ ). Esta es una bestia diferente porque un lado es fijo en 3 mientras el otro crece infinitamente. Aquí, los autores encontraron una respuesta aún más precisa. Demostraron que el número de formas de cubrir este rectángulo es aproximadamente $e$ elevado a la potencia de $\pi \times \sqrt{11n/3}$ . Esto no es solo una suposición o una simulación; es un hecho matemáticamente probado con un margen de error muy estrecho. También demostraron que una suposición previa y más débil sobre este problema era demasiado imprecisa, reemplazándola con una fórmula mucho más aguda y exacta.

Para obtener estas respuestas, los autores tuvieron que ser creativos. Para el cuadrado, no podían simplemente contar cada cobertura individual (¡hay demasiadas!). En su lugar, usaron un truco ingenioso: contaron todas las colecciones posibles de rectángulos que podrían encajar en el área, incluso si no pudieran ser dispuestos realmente en un cuadrado sin huecos. Esto les dio un "techo" (un límite superior). Luego, construyeron un "suelo" (un límite inferior) específico al demostrar que definitivamente podían construir un número enorme de cuadrados válidos utilizando una estrategia de empaquetado específica. Al apretar la verdadera respuesta entre este suelo y este techo, probaron la tasa de crecimiento exacta. Para el rectángulo $3 \times n$ , usaron una estrategia similar, pero tuvieron que dividir el rectángulo en tiras más pequeñas y manejables y utilizar herramientas avanzadas de la teoría de las "funciones generatrices" (que son como fórmulas mágicas que convierten los problemas de conteo en problemas de álgebra) para obtener los números precisos.

El artículo también toca un misterio mayor aún no resuelto. Los autores sugieren que, para un rectángulo de tamaño $m \times n$ (donde $m$ es un número fijo como 4 o 5 y $n$ se vuelve enorme), podría haber un patrón universal sobre cómo crecen estos números. Tienen evidencia sólida para $m=1, 2$ y $3$, pero para $m=4$ y superiores, la respuesta sigue siendo una pregunta abierta y tentadora. Incluso intentaron construir una "escalera" de rectángulos para resolver el caso de $4 \times n$ y funcionó, pero para $5 \times n$ , ese mismo truco falló, insinuando que las reglas cambian a medida que el rectángulo se ensancha.

En resumen, este artículo es un triunfo de la precisión. Toma dos problemas de conteo muy difíciles—uno para cuadrados y otro para rectángulos largos—y los resuelve con fórmulas exactas. Nos dice exactamente qué tan rápido crece el número de posibilidades a medida que las formas se agrandan, reemplazando conjeturas vagas con matemáticas sólidas y probadas. Aunque no resolvieron el problema para todos los tamaños posibles de rectángulos, descifraron el código para los casos más interesantes y proporcionaron una hoja de ruta para aquellos que aún están esperando ser resueltos.

Resumen Técnico: Una Nota sobre la Función de Partición de un Rectángulo

Planteamiento del Problema

Este artículo investiga el comportamiento asintótico de la función de partición de un rectángulo $p(m, n)$ , que cuenta las formas de particionar un rectángulo de tamaño $m \times n$ en un multiconjunto de bloques rectangulares de lados enteros. Se consideran dos particiones idénticas si consisten en el mismo multiconjunto de tipos de bloques, donde un bloque $a \times b$ es indistinguible de un bloque $b \times a$ . El arreglo geométrico de los bloques es irrelevante para el conteo; solo importa el multiconjunto de tipos, siempre que los bloques puedan teóricamente cubrir el área $m \times n$ .

Los autores se centran en dos casos específicos:

Particiones cuadradas: $p(n, n)$ , donde ambas dimensiones tienden al infinito.
Rectángulos de altura fija: $p(3, n)$ , donde la altura es fija en 3 y el ancho $n$ tiende al infinito.

Estos problemas generalizan la función de partición entera clásica $p(n)$ , que corresponde al caso $p(1, n)$ . Mientras que se conjeturó que el comportamiento asintótico de $p(m, n)$ para un $m$ fijo y un $n$ grande sigue una forma específica que involucra números armónicos, el comportamiento preciso para el caso cuadrado ( $m=n$ ) presenta un desafío asintótico distinto.

Metodología

El artículo emplea una combinación de teoría analítica de números, funciones generatrices y construcciones combinatorias de empaquetamiento.

Límites Superiores mediante Funciones Generatrices: Los autores derivan límites superiores relajando la condición de teselado geométrico (condición 3 en la Definición 1.1). Consideran el número de multiconjuntos de rectángulos con un área total de $mn$, independientemente de si pueden teselar físicamente el rectángulo. Esto se modela mediante funciones generatrices de la forma $\prod (1-x^{ab})^{-r(ab)}$ , donde $r(ab)$ cuenta el número de tipos de rectángulos con área $ab$.
- Para $p(n, n)$ , comparan la función generatriz con la de las particiones en partes de un multiconjunto relacionado con la función divisor $d(s)$ , utilizando resultados de Berndt, Robles, Zaharescu y Zeindler.
- Para $p(3, n)$ , descomponen el problema en particiones que involucran bloques de altura 3 y aquellas que no, utilizando la convolución de funciones generatrices y el teorema tauberiano de Ingham (refinado por Bringmann Jennings–Shaffer y Mahlburg) para extraer coeficientes asintóticos.
Límites Inferiores mediante Construcciones de Empaquetamiento: Para establecer límites inferiores, los autores construyen teselados específicos.
- Para $p(n, n)$ , utilizan un enfoque de "partición coloreada" combinado con un algoritmo de empaquetamiento voraz (greedy packing). Particionan el cuadrado en franjas horizontales de distintas alturas y las llenan con rectángulos derivados de particiones enteras restringidas.
- Para $p(3, n)$ , emplean una construcción de "escalera", dividiendo el rectángulo $3 \times n$ en franjas horizontales de alturas 3, 2 y 1, y llenándolas con rectángulos de alturas correspondientes derivadas de particiones enteras con partes restringidas.
Análisis Asintótico: Las demostraciones se apoyan fuertemente en la fórmula asintótica de Hardy–Ramanujan para $p(n)$ , las propiedades de la función eta de Dedekind y estimaciones precisas de sumas armónicas y funciones divisoras.

Contribuciones Clave y Resultados

Fórmula Asintótica para Particiones Cuadradas ( $p(n, n)$ ):
Los autores establecen el término asintótico principal para la función de partición cuadrada:
$p(n, n) = \exp\left( \left(\frac{\pi}{\sqrt{3}} + o(1)\right) n \sqrt{\log n} \right)$
Este resultado es significativo porque difiere de la forma conjeturada para $m$ fijo (que escala como $\sqrt{n}$ ). El caso cuadrado escala como $n\sqrt{\log n}$ . El artículo también proporciona dos límites superiores elementales más débiles y un límite inferior simple para ilustrar la dificultad del problema antes de presentar la prueba principal.
Fórmula Asintótica para $p(3, n)$ :
El artículo demuestra el comportamiento asintótico exacto para el rectángulo $3 \times n$ :
$p(3, n) = \exp\left( \pi \sqrt{\frac{11n}{3}} + O(\log n) \right)$
Esto confirma la conjetura para $m=3$ con un término de error más fuerte ( $O(\log n)$ en el exponente) que lo conocido anteriormente. La constante $\pi\sqrt{11/3}$ se deriva de la interacción entre las particiones en partes de tamaño $\ge 3$ y los tipos de bloques específicos permitidos en la geometría $3 \times n$ .
Límites Superiores Independientes:
Los autores presentan un límite superior independiente para $p(3, n)$ que es más débil que el resultado principal pero derivado mediante un enfoque analítico diferente, ofreciendo una perspectiva alternativa al problema.
Conjeturas para $m$ General:
Mientras prueban el caso para $m=3$ , los autores reiteran su conjetura para $m \ge 4$ fijo:
$p(m, n) = \exp\left( \pi \sqrt{\frac{2m H_m}{3} n} + o(\sqrt{n}) \right)$
donde $H_m$ es el $m$ -ésimo número armónico. Observan que el caso cuadrado ( $m=n$ ) sigue siendo un problema distinto donde ambas dimensiones crecen.

Significancia y Reivindicaciones

El artículo afirma resolver el comportamiento asintótico logarítmico preciso para la función de partición cuadrada $p(n, n)$ , un problema que había permanecido abierto a pesar de conocerse los valores para $n$ pequeños. Los autores enfatizan que el caso cuadrado conduce a un problema asintótico fundamentalmente diferente comparado con los rectángulos de altura fija, ya que ambas longitudes de lado tienden al infinito.

Para el caso $3 \times n$ , el artículo proporciona la primera prueba de la fórmula asintótica con un término de error riguroso, confirmando los argumentos heurísticos y la evidencia numérica recopilada previamente. Los autores señalan modestamente que, aunque su construcción para $p(4, n)$ se alinea con la conjetura, la construcción de "escalera" utilizada para $m=3$ y $m=4$ no logra producir el término exponencial conjeturado para $m=5$ , lo que sugiere que se podrían requerir arreglos geométricos diferentes para alturas fijas mayores.

El trabajo contribuye a la teoría más amplia de las particiones enteras al extender el análisis asintótico a problemas de partición geométrica, cerrando la brecha entre la teoría de particiones clásica y los problemas de teselado donde el orden de los bloques es irrelevante.

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