Plancherel and Poisson summation formulae for a family of affine $\Psi$-bundles

Resumen Técnico: Fórmulas de Plancherel y de Suma de Poisson para una Familia de $\Psi$-Bundles Afines

Problema y Entorno
Este artículo aborda la conjetura de la suma de Poisson para una familia específica de espacios singulares que surgen en el contexto de las funciones $L$ de producto triple. La conjetura, planteada originalmente por Braverman y Kazhdan y refinada por Ngô y Sakellaridis, postula la existencia de un espacio de Schwartz, una transformada de Fourier que satisface una equivariancia torcida, y una fórmula de suma de Poisson para variedades esféricas.

Los autores se centran en una familia de $\Psi$-bundles afines sobre una variedad esférica específica. Sea $F$ un cuerpo numérico y $r \geq 3$. El objeto geométrico subyacente es el espacio $X^\circ_r = N \backslash GL_r$, donde $N$ es el radical unipotente de un subgrupo parabólico estándar. Este se empareja con el espacio $M^\circ$ de matrices de rango 1 en $M_{r-2,2}$. Los autores consideran el producto $X^\circ = X^\circ_r \times M^\circ$ y sus fibras $X^\circ_\ell$ sobre puntos $\ell \in \mathbb{P}^1(F)$. Sobre estas fibras, estudian fibrados lineales hermitianos $H$ (affine $\Psi$-bundles) cuyas secciones satisfacen una ley de transformación específica que involucra un carácter $\psi$ y un emparejamiento en los componentes de la matriz.

La motivación principal para esta elección específica del espacio es su aplicación a la representación integral de las funciones $L$ de producto triple exploradas en un artículo complementario de los autores y Leslie [GGHL25]. En ese contexto, probar la continuación analítica de estas funciones $L$ requiere un par de fórmulas de suma de Poisson: una para un espacio vectorial (conocida) y otra para el espacio singular $X^\circ_\ell$ estudiado aquí.

Metodología
Los autores emplean un método espectral, utilizando propiedades conocidas de las representaciones automórficas y las funciones $L$ para deducir resultados geométricos. La estrategia técnica central implica los siguientes pasos:

1. Análisis Armónico Local: Los autores establecen primero una fórmula de Plancherel para el espacio de Harish-Chandra $C(X^\circ_\ell(F_v), H)$ en un lugar local $v$. Esto implica definir el espacio de funciones, construir integrales zeta locales y relacionarlas con los modelos de Whittaker de representaciones de $GL_{r,r-2}$.
2. Integrales Zeta y Acotaciones: Una parte significativa del trabajo se dedica a probar la convergencia absoluta y establecer acotaciones precisas para las integrales zeta locales $Z(f, W, \chi)$. Estas integrales se definen utilizando la estructura del $\Psi$-bundle y las funciones de Whittaker. Los autores demuestran que estas integrales convergen para funciones de decrecimiento rápido y establecen su continuación meromorfa.
3. Teorema de Plancherel Matricial: Al combinar la fórmula de Plancherel local para $GL_{r,r-2}$ con la estructura de las integrales zeta, los autores derivan un teorema de Plancherel "matricial" para el espacio $X^\circ_\ell(F_v)$. Este teorema proporciona un isomorfismo topológico entre el espacio de Harish-Chandra del fibrado y un espacio de secciones sobre el espectro templado de $GL_{r,r-2}$.
4. Construcción de la Transformada de Fourier: Utilizando el isomorfismo de Plancherel, los autores definen una transformada de Fourier local. Esta transformada se construye describiendo su imagen bajo el mapa de Plancherel en términos de los factores $\gamma$ asociados con las funciones $L$ relevantes.
5. Espacios de Schwartz Asintóticos: Los autores definen un espacio de Schwartz asintótico $Sas(X_\ell(F_v), H)$ adaptado a la geometría del espacio. Demuestran que la función básica (una función de prueba específica definida mediante funciones características de subgrupos compactos) pertenece a este espacio y es $\Xi$-rápidamente decreciente.
6. Desplegamiento Global: Para probar la fórmula global de suma de Poisson, los autores despliegan una integral zeta global que involucra una forma cúspide y la función de Schwartz. Utilizan la descomposición espectral del núcleo automórfico y las ecuaciones funcionales de las integrales zeta locales (derivadas de la transformada de Fourier local) para relacionar la suma sobre puntos racionales con la suma sobre la transformada de Fourier.

Contribuciones Clave y Resultados

• Fórmula de Plancherel para $\Psi$-Bundles Afines: El artículo demuestra una fórmula de Plancherel para el espacio de Harish-Chandra de una familia de $\Psi$-bundles afines sobre variedades esféricas singulares (Teorema 1.1, Teorema 8.6). Esto es notable porque la descomposición de Plancherel involucra representaciones admisibles de rango arbitrariamente alto ($GL_{r,r-2}$), lo que lo distingue de resultados previos sobre variedades esféricas que a menudo involucran grupos de rango menor o monoide específicos.
• Construcción de Transformadas de Fourier: Los autores construyen transformadas de Fourier locales y globales para estos espacios (Teorema 9.2, Teorema 10.2). Se demuestra que estas transformadas son isomorfismos topológicos en los espacios de Schwartz asintóticos.
• Fórmula de Suma de Poisson: Bajo supuestos adecuados (A1 y A2) respecto a la imagen cúspide y el decrecimiento rápido de las funciones de prueba, los autores prueban la fórmula de suma de Poisson:
  $$\sum_{x \in X^\circ_\ell(F)} f(x) = \sum_{x \in X^\circ_\ell(F)} \mathcal{F}(f)(x)$$
  (Teorema 1.2, Teorema 12.7).
• Estimaciones Técnicas: El artículo proporciona cotas rigurosas para las funciones de Whittaker e integrales zeta tanto en el entorno arquimediano como en el no arquimediano, incluyendo estimaciones para representaciones no templadas y el comportamiento de la función básica.

Significación y Reivindicaciones
Los autores afirman que este trabajo representa el primer caso de la conjetura de la suma de Poisson probada para espacios singulares cuya descomposición de Plancherel involucra representaciones admisibles de rango arbitrariamente alto.

El artículo establece explícitamente que la técnica de pasar de ida y vuelta entre datos espectrales y geométricos para deducir resultados sobre datos espectrales es ubicua en la teoría de representaciones automórficas. En este entorno específico, los autores utilizan propiedades conocidas de las funciones $L$ (específicamente su continuación analítica y ecuaciones funcionales) para deducir la fórmula de suma de Poisson. Observan que este enfoque es algo circular en el sentido de que la suma de Poisson se utiliza a menudo para probar propiedades de las funciones $L$, pero argumentan que la técnica es válida y necesaria para su aplicación prevista en [GGHL25].

Los autores reconocen que no saben cómo construir la transformada de Fourier o probar la fórmula de suma de Poisson sin utilizar la fórmula de Plancherel y el método espectral. También señalan que, si bien asumen que las funciones de prueba satisfacen condiciones fuertes (A1 y A2) para simplificar la prueba, creen que muchas funciones en el espacio de Schwartz satisfacen la condición de decrecimiento rápido (A2), aunque un teorema de Paley-Wiener completo para la órbita abierta sigue siendo un objetivo futuro.

En resumen, el artículo proporciona un marco de análisis armónico riguroso para una clase específica de espacios singulares, estableciendo las herramientas necesarias de Plancherel y suma de Poisson requeridas para avanzar en el estudio de las funciones $L$ de producto triple mediante el método del fibrado.