A Spectral-Domain Pseudo-Inverse Method for True 3D Gravity Inversion

Resumen Técnico: Un Método de Pseudo-Inversa en el Dominio Espectral para la Inversión Gravimétrica 3D Real

Planteamiento del Problema
El artículo aborda los desafíos fundamentales inherentes a la inversión gravimétrica 3D: la subdeterminación, la inestabilidad y la pobre resolución de profundidad. Las observaciones superficiales tradicionales proporcionan datos únicamente en un plano 2D ($z=0$), careciendo de la información del número de onda vertical necesaria para resolver la distribución de densidad tridimensional en el subsuelo $\rho(x,y,z)$. Esto conduce a un número insuficiente de restricciones independientes. Además, el campo gravitatorio decae rápidamente con la profundidad, lo que provoca que las señales de fuentes profundas se atenúen severamente, volviendo el problema inverso mal condicionado y altamente sensible al ruido. Los enfoques existentes, como la regularización iterativa en el dominio espacial (por ejemplo, Tikhonov), son computacionalmente costosos y sensibles a los modelos iniciales, mientras que los métodos en el dominio de la frecuencia suelen limitarse a la reconstrucción de interfaces en lugar de una inversión volumétrica completa.

Metodología
El autor propone un método de inversión "3D real" basado en la teoría de la pseudo-inversa en el dominio espectral para sistemas unitariamente diagonalizables. La metodología procede en dos niveles teóricos distintos:

1. Completitud del Espacio de Datos mediante Continuación Analítica:
   Para satisfacer el requisito de la pseudo-inversa del dominio espectral para datos de entrada 3D, el artículo aprovecha el hecho de que la anomalía de gravedad $g_z$ satisface la ecuación de Laplace ($\nabla^2 g_z = 0$) en la capa de aire libre de fuentes ($z < 0$). Al aplicar una transformada de Fourier 2D a los datos superficiales $g_z(x,y,0)$, el autor deriva una fórmula de continuación ascendente analítica. Esto permite la construcción de un volumen de datos 3D completo y físicamente consistente por encima del plano de observación. Crucialmente, el artículo deriva una expresión analítica general para el espectro del semiespacio:
   $$\tilde{g}^{obs}_z(k_x, k_y, k_z) = \tilde{g}_z(k_x, k_y, 0) \frac{1}{a - i k_z}$$
   donde $a = \sqrt{k_x^2 + k_y^2}$. Esta expresión separa el espectro horizontal de un núcleo de propagación vertical universal, proporcionando el muestreo necesario del número de onda vertical para la transformada de Fourier 3D sin errores de interpolación numérica.

2. Inversión de la Pseudo-Inversa en el Dominio Espectral:
   Se demuestra que el operador de avance para la gravedad 3D es unitariamente diagonalizable en el dominio de Fourier. La relación entre el espectro de densidad $\tilde{\rho}$ y el espectro de gravedad $\tilde{g}_z$ se expresa como:
   $$\tilde{g}_z(\mathbf{k}) = \lambda(\mathbf{k}) \tilde{\rho}(\mathbf{k}), \quad \text{donde } \lambda(\mathbf{k}) = \frac{-i 4\pi G k_z}{K^2}$$
   Aquí, $K^2 = k_x^2 + k_y^2 + k_z^2$. Basándose en su teoría previa para sistemas unitariamente diagonalizables, se construye un filtro de inversa generalizado estable:
   $$q_\alpha(\lambda) = \frac{\bar{\lambda}}{|\lambda|^2 + \alpha}$$
   donde $\alpha > 0$ es un parámetro de regularización. Este filtro se aplica al espectro de datos 3D construido para obtener el espectro de densidad. La distribución de densidad espacial final se recupera mediante una transformada de Fourier 3D inversa. Debido a la estructura de polo del espectro de datos (específicamente el polo en $k_z = -ia$), la transformada inversa de $k_z$ se implementa mediante una integral de contorno en el plano complejo, cerrada en el semiplano inferior para $z > 0$.

Contribuciones Clave

• Completitud del Espacio de Datos: El artículo demuestra que la continuación ascendente mediante la ecuación de Laplace puede construir rigurosamente un volumen de datos 3D a partir de datos superficiales 2D, mitigando así la subdeterminación del problema y proporcionando el muestreo del número de onda vertical requerido para el análisis espectral 3D.
• Inversión de Forma Cerrada: El artículo prueba que el operador de avance gravitatorio 3D es exactamente unitariamente diagonalizable. En consecuencia, la inversión se reduce a un cálculo determinista de forma cerrada que consiste en una transformada de Fourier 3D directa, un paso de escalado espectral utilizando el filtro derivado y una transformada inversa, eliminando la necesidad de optimización iterativa.
• Estabilidad y Consistencia: Se demuestra que el filtro inverso construido posee estabilidad acotada ($\|q_\alpha\|_\infty \leq 1/(2\sqrt{\alpha})$) y consistencia (convergiendo a la inversa generalizada de Moore–Penrose cuando $\alpha \to 0^+$).
• Marco Analítico: La derivación del espectro del semiespacio (Ecuación 7) proporciona un marco de entrada unificado que separa los componentes horizontales y verticales, aplicable a datos gravimétricos superficiales arbitrarios independientemente de la complejidad del modelo de subsuelo.

Resultados
El método fue validado utilizando un modelo de esfera homogénea. Los resultados indican que:

• La inversión recupera correctamente la ubicación 3D de la anomalía.
• A medida que el parámetro de regularización $\alpha \to 0^+$, el método elimina con éxito el efecto de dispersión de la función de Green, recuperando el comportamiento singular (función delta de Dirac) en el punto de la fuente.
• Para un $\alpha$ finito, la solución es una distribución suavizada, y la integral sobre todo el espacio conserva estrictamente la masa total de la fuente.
• El método recupera la densidad de perturbación (relativa a un fondo desconocido) con una media de cero; las densidades absolutas requieren información previa independiente. La recuperación cuantitativa de la distribución de densidad depende de la elección de $\alpha$: un $\alpha$ más pequeño produce resultados más nítidos y valores internos más precisos, aproximándose al límite divergente en la fuente.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma establecer un marco analítico y teóricamente consistente para la inversión gravimétrica "3D real". Su importancia radica en el cambio de paradigma de la optimización iterativa hacia un enfoque de descomposición estructural. Al demostrar que el problema puede resolverse mediante una única operación de filtrado espectral, el método ofrece un marco unificado para la inversión estable de problemas de tipo convolución. El autor señala que, si bien el método es numéricamente equivalente a la regularización de Tikhonov de orden cero, difiere conceptualmente al derivarse directamente de la estructura unitariamente diagonalizable de la ecuación de Poisson en lugar de un principio de optimización. El artículo concluye que, aunque el método logra resultados ideales bajo supuestos de espectro continuo, el trabajo futuro se centrará en aplicaciones a datos reales, detalles de implementación numérica y análisis de robustez.