A Spectral-Domain Pseudo-Inverse Method for True 3D Gravity Inversion

Résumé Technique : Une méthode de pseudo-inverse dans le domaine spectral pour l'inversion de la gravité en 3D réelle

Énoncé du Problème
L'article traite des défis fondamentaux inhérents à l'inversion de la gravité en 3D : la sous-détermination, l'instabilité et la faible résolution en profondeur. Les observations de surface traditionnelles ne fournissent des données que sur un plan 2D ($z=0$), manquant d'informations sur le nombre d'onde vertical nécessaires pour résoudre la distribution de densité 3D sous-jacente $\rho(x,y,z)$. Cela conduit à un nombre insuffisant de contraintes indépendantes. De plus, le champ de gravité décroît rapidement avec la profondeur, ce qui provoque une atténuation sévère des signaux provenant de sources profondes, rendant le problème inverse mal conditionné et hautement sensible au bruit. Les approches existantes, telles que la régularisation itérative dans le domaine spatial (par exemple, Tikhonov), sont coûteuses en termes de calcul et sensibles aux modèles initiaux, tandis que les méthodes dans le domaine fréquentiel sont généralement limitées à la reconstruction d'interfaces plutôt qu'à l'inversion volumétrique complète.

Méthodologie
L'auteur propose une méthode d'inversion « 3D réelle » basée sur la théorie du pseudo-inverse dans le domaine spectral pour les systèmes unitairement diagonalisables. La méthodologie procède en deux niveaux théoriques distincts :

1. Complétion de l'espace de données par continuation analytique :
   Pour satisfaire l'exigence du pseudo-inverse spectral pour des données 3D, l'article exploite le fait que l'anomalie de gravité $g_z$ satisfait l'équation de Laplace ($\nabla^2 g_z = 0$) dans la couche d'air exempte de source ($z < 0$). En appliquant une transformée de Fourier 2D aux données de surface $g_z(x,y,0)$, l'auteur dérive une formule de continuation ascendante analytique. Cela permet de construire un volume de données 3D complet et physiquement cohérent au-dessus du plan d'observation. Crucialement, l'article dérive une expression analytique générale du spectre du demi-espace :
   $$\tilde{g}^{obs}_z(k_x, k_y, k_z) = \tilde{g}_z(k_x, k_y, 0) \frac{1}{a - i k_z}$$
   où $a = \sqrt{k_x^2 + k_y^2}$. Cette expression sépare le spectre horizontal d'un noyau de propagation vertical universel, fournissant l'échantillonnage nécessaire du nombre d'onde vertical pour la transformée de Fourier 3D sans erreurs d'interpolation numérique.

2. Inversion par pseudo-inverse dans le domaine spectral :
   L'opérateur direct pour la gravité 3D est montré comme étant unitairement diagonalisable dans le domaine de Fourier. La relation entre le spectre de densité $\tilde{\rho}$ et le spectre de gravité $\tilde{g}_z$ est exprimée par :
   $$\tilde{g}_z(\mathbf{k}) = \lambda(\mathbf{k}) \tilde{\rho}(\mathbf{k}), \quad \text{où } \lambda(\mathbf{k}) = \frac{-i 4\pi G k_z}{K^2}$$
   Ici, $K^2 = k_x^2 + k_y^2 + k_z^2$. Sur la base de la théorie préalable de l'auteur pour les systèmes unitairement diagonalisables, un filtre d'inverse généralisé stable est construit :
   $$q_\alpha(\lambda) = \frac{\bar{\lambda}}{|\lambda|^2 + \alpha}$$
   où $\alpha > 0$ est un paramètre de régularisation. Ce filtre est appliqué au spectre de données 3D construit pour obtenir le spectre de densité. La distribution de densité spatiale finale est récupérée via une transformée de Fourier 3D inverse. En raison de la structure de pôle du spectre de données (spécifiquement le pôle à $k_z = -ia$), la transformée inverse de $k_z$ est implémentée via une intégrale de contour dans le plan complexe, fermée dans le demi-plan inférieur pour $z > 0$.

Contributions Clés

• Complétion de l'Espace de Données : L'article démontre que la continuation ascendante via l'équation de Laplace permet de construire rigoureusement un volume de données 3D à partir de données de surface 2D, atténuant ainsi la sous-détermination du problème et fournissant l'échantillonnage du nombre d'onde vertical requis pour l'analyse spectrale 3D.
• Inversion à Forme Fermée : L'article prouve que l'opérateur direct de la gravité 3D est exactement unitairement diagonalisable. Par conséquent, l'inversion est réduite à un calcul déterministe à forme fermée consistant en une transformée de Fourier 3D directe, une étape de mise à l'échelle spectrale utilisant le filtre dérivé, et une transformée inverse, éliminant ainsi le besoin d'optimisation itérative.
• Stabilité et Cohérence : Le filtre inverse construit possède une stabilité bornée ($\|q_\alpha\|_\infty \leq 1/(2\sqrt{\alpha})$) et une cohérence (convergeant vers l'inverse généralisé de Moore-Penrose quand $\alpha \to 0^+$).
• Cadre Analytique : La dérivation du spectre du demi-espace (Équation 7) fournit un cadre d'entrée unifié qui sépare les composantes horizontales et verticales, applicable à n'importe quelle donnée de gravité de surface, quelle que soit la complexité du modèle de subsurface.

Résultats
La méthode a été validée à l'aide d'un modèle de sphère homogène. Les résultats indiquent que :

• L'inversion récupère correctement la localisation 3D de l'anomalie.
• À mesure que le paramètre de régularisation $\alpha \to 0^+$, la méthode élimine avec succès l'effet d'étalement de la fonction de Green, récupérant le comportement singulier (fonction delta de Dirac) au point de la source.
• Pour un $\alpha$ fini, la solution est une distribution lissée, et l'intégrale sur tout l'espace conserve strictement la masse totale de la source.
• La méthode récupère la densité de perturbation (par rapport à un fond inconnu) avec une moyenne nulle ; les densités absolues nécessitent des informations préalables indépendantes. La récupération quantitative de la distribution de densité dépend du choix de $\alpha$ : un $\alpha$ plus petit produit des résultats plus nets et des valeurs internes plus précises, approchant la limite divergente à la source.

Signification et Revendications
L'article affirme établir un cadre analytique théoriquement cohérent pour l'inversion de la gravité en « vraie 3D ». Sa signification réside dans le passage d'une optimisation itérative à une approche de décomposition structurelle. En prouvant que le problème peut être résolu via une opération unique de filtrage spectral, la méthode offre un cadre unifié pour l'inversion stable des problèmes de type convolution. L'auteur note que, bien que la méthode soit numériquement équivalente à une régularisation de Tikhonov d'ordre zéro, elle diffère conceptuellement en dérivant directement de la structure diagonalisable unitaire de l'équation de Poisson plutôt que d'un principe d'optimisation. L'article conclut que, bien que la méthode atteigne des résultats idéaux sous des hypothèses de spectre continu, les travaux futurs se concentreront sur les applications aux données réelles, les détails de mise en œuvre numérique et l'analyse de robustesse.