Static Equilibria of Perturbed Spheres: A Single-Harmonic Class Map, a Parity Obstruction, and a Certified Counter for the Mono-Monostatic Regime

Resumen Técnico: Equilibrios Estáticos de Esferas Perturbadas

Planteamiento del Problema
El artículo aborda el problema clásico de determinar el número y los tipos de estabilidad (estable $S$, inestable $U$ y silla $H$) de los equilibrios estáticos de un cuerpo convexo homogéneo que reposa sobre un plano horizontal bajo la influencia de la gravedad. Si bien Várkonyi y Domokos [1, 2] demostraron la existencia de cuerpos para cualquier clase $(S, U)$ con $S, U \ge 1$ (incluyendo el Gömböc mono-monostático donde $S=U=1$), su resultado no proporciona una descripción elemental en forma cerrada de qué clase realiza una forma específica. El artículo se centra en las perturbaciones no degeneradas más simples de una esfera: cuerpos homogéneos cuyas fronteras están definidas por una esfera unitaria perturbada radialmente por un único armónico esférico real $Y^m_\ell$ de grado $\ell \ge 2$ y orden $1 \le m \le \ell$. La cuestión central es determinar la clase exacta de equilibrio $(S, U)$ para estas formas de un solo armónico.

Metodología
El enfoque combina geometría analítica, teoría de armónicos esféricos y computación numérica certificada:

1. Reducción a Puntos Críticos: El autor utiliza la reducción establecida de que los equilibrios estáticos corresponden a los puntos críticos de la función del cuadrado de la distancia del centroide a la superficie, $\rho(u) = |x(u) - c|^2$.
2. Análisis del Centroide (Lema 1): Un paso analítico clave consiste en determinar la ubicación del centroide $c$. El artículo demuestra que para un armónico tesseral simple $Y^m_\ell$ con $m \ge 2$, la simetría de la perturbación obliga a que el centroide permanezca exactamente en el origen ($c=0$) para todas las amplitudes dentro del rango convexo. Para $m=1$, el desplazamiento del centroide es $O(\epsilon^3)$ y solo se anula bajo condiciones de paridad específicas.
3. Reducción Exacta (Lema 2): Debido a que $c=0$ para $m \ge 2$, la función de distancia $\rho(u)$ se convierte exactamente en $(1 + \epsilon g(u))^2$. Dado que esta es una función estrictamente creciente de la función armónica $g$, los puntos críticos del cuerpo físico están en biyección exacta con los puntos críticos del propio armónico $Y^m_\ell$, preservando los tipos de estabilidad e índices. Esto se cumple para todo el rango convexo, no solo de forma asintótica.
4. Enumeración de Puntos Críticos (Proposición 1): El autor cuenta los puntos críticos de $Y^m_\ell$ explotando su estructura separable ($P^m_\ell(\cos \theta) \cos(m\phi)$). Analizan los ceros de las funciones de Legendre asociadas y sus derivadas para clasificar máximos locales, mínimos y sillas, incluyendo el comportamiento en los polos (que actúan como "sillas de mono" o monkey saddles degeneradas para $m \ge 3$).
5. Contador Numérico Certificado (Sección 7): Para el régimen multi-armónico (donde la reducción de un solo armónico falla y el centroide se desplaza), el autor desarrolla un contador de equilibrios certificado. Este método utiliza aritmética de intervalos para encerrar la distancia del centroide a la superficie, aplica el operador de Krawczyk para la certificación de existencia y unicidad, y utiliza hessianos de intervalo para la clasificación de estabilidad. Se utilizan cartas estereográficas para manejar las singularidades polares.

Resultados Clave

• El Teorema de la Clase de Equilibrio (Teorema 1): Para un cuerpo perturbado por un solo armónico $Y^m_\ell$ ($\ell \ge 2, 1 \le m \le \ell$), el número de equilibrios estables e inestables es exactamente:
  $$S = U = m(\ell - m + 1)$$
  Los puntos críticos restantes son $2m(\ell-m)$ sillas ordinarias y dos polos de índice $1-m$. El balance de Poincaré–Hopf $S - H + U = 2$ se satisface exactamente.
• Alcance Diagonal (Corolario 1): Las perturbaciones de un solo armónico solo pueden realizar clases de equilibrio en la diagonal $S=U$. Los valores alcanzables son $\{2, 3, 4, \dots\}$.
• No Mono-monostaticidad de un Solo Armónico (Corolario 2): Dado que $m(\ell - m + 1) = 1$ implica $\ell=1$ (una traslación rígida, no un cambio de forma), ningún armónico esférico simple de grado $\ell \ge 2$ puede producir un cuerpo mono-monostático ($S=U=1$).
• Obstrucción de Paridad (Corolario 3): Cualquier perturbación compuesta únicamente por armónicos de grado par resulta en un cuerpo con simetría central. Tales cuerpos tienen equilibrios en pares antipodales, lo que obliga a que $S$ y $U$ sean números pares. Consecuentemente, los cuerpos con simetría central no pueden ser mono-monostáticos.
• Verificación Certificada: El autor validó su fórmula analítica contra simulaciones numéricas para ocho cuerpos específicos de un solo armónico, logrando una concordancia exacta. Además, el contador certificado se aplicó a una parametrización analítica conocida de un cuerpo casi esférico (previamente ambiguo en la literatura), confirmando rigurosamente que es mono-monostático con $(S, U, H) = (1, 1, 0)$.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma proporcionar una "respuesta constructiva completa" al problema de la clasificación de equilibrios para las formas no degeneradas más simples, contrastando con las pruebas de existencia no constructivas de Várkonyi y Domokos.

1. Perspectiva Estructural: Establece que la mono-monostaticidad es un fenómeno intrínsecamente multi-armónico que requiere contenido de paridad impar; no puede lograrse mediante un solo modo ni mediante formas con simetría central.
2. Exactitud vs. Aproximación: El artículo destaca que para $m \ge 2$, la reducción del cuerpo físico al armónico es una identidad exacta, no una aproximación de primer orden. Esto permite un conteo de forma cerrada sin términos de error asintóticos.
3. Resolución de Ambigüedad: El artículo aborda la dificultad práctica de contar equilibrios en cuerpos casi esféricos, donde los métodos basados en semillas suelen subestimar y los métodos basados en rejillas tienden a sobreestimar. El contador certificado propuesto elimina esta ambigüedad, proporcionando un conteo demostrablemente correcto que no subestima ni sobreestima, resolviendo así cuestiones específicas sobre parametrizaciones analíticas que los métodos anteriores dejaron ambiguas.

El trabajo se presenta como un mapeo riguroso de los "extremos" del problema: una solución de forma cerrada exacta donde un solo modo domina, y un procedimiento de decisión certificado para el complejo régimen multi-armónico donde reside la clase del Gömböc.