Gross vectors modulo 2 and elliptic curves of prime conductor

Resumen Técnico: Vectores de Gross Módulo 2 y Curvas Elípticas de Conductor Primo

Planteamiento del Problema
El artículo aborda las propiedades de paridad de los coeficientes de los autovectores de Brandt asociados a curvas elípticas supersingulares sobre cuerpos finitos $\mathbb{F}_p$. Específicamente, sea $p > 3$ un número primo y $S_p$ el conjunto de clases de isomorfismo geométrica de curvas elípticas supersingulares cuyos invariantes $j$ yacen en $\mathbb{F}_p$. Para una curva elíptica $E/\mathbb{Q}$ de conductor primo $p$, la correspondencia de Jacquet–Langlands asocia un autovector de Brandt primitivo e integral $v_E = \sum c_i e_i$. El problema central es determinar la paridad de los coeficientes $c_i$ para $i \in S_p$ cuando $E$ tiene rango de Mordell–Weil positivo.

Esta indagación surge del estudio de los polinomios de divisor y de una conjetura de Kazalicki y Kohen, la cual postula que si $E$ tiene rango positivo y número de raíz $+1$, entonces cada coeficiente $c_i$ indexado por una clase supersingular racional ($i \in S_p$) debe ser par. Si bien resultados previos establecieron esto bajo condiciones restrictivas (discriminante positivo, ausencia de 2-torsión racional), el caso general permanecía abierto. Además, esta cuestión de paridad está vinculada a la conjetura de Watkins sobre la divisibilidad del grado modular $m_E$ por potencias de 2 basada en el rango de $E$.

Metodología
Los autores emplean una estrategia de múltiples pasos que combina geometría aritmética, álgebras de cuaterniones y teoría de campos de clase:

1. Reducción a Vectores de Gross: El problema se traslada de los coeficientes $c_i$ del autovector de Brandt a la paridad de los coeficientes $m_i(D)$ de los "vectores de Gross" (vectores CM) asociados a discriminantes fundamentales negativos $-D$ donde $p$ es inerte. Utilizando la ortogonalidad de los vectores de Gross con respecto al autovector de Brandt de una curva de rango positivo, los autores muestran que el vector de paridades $(c_i \mod 2)_{i \in S_p}$ debe residir en el complemento ortogonal del espacio generado por las filas de paridad de Gross.
2. Reducción de Frobenius: Un paso técnico clave reduce la paridad de los números de representación de las redes ternarias de Gross $L_i$ a la paridad de los números de representación de subredes de rango dos $L_i^\perp$ perpendiculares al endomorfismo de Frobenius $\pi_i$. Esta reducción depende de la acción de la conjugación de Frobenius, que agrupa los vectores fuera de la red perpendicular en órbitas de tamaño cuatro, haciendo que su contribución sea par módulo 2.
3. Identificación con Formas Binarias: Utilizando las órdenes máximas explícitas de Ibukiyama en el álgebra de cuaterniones $B_{p,\infty}$, los autores identifican las redes perpendiculares $L_i^\perp$ con formas cuadráticas binarias específicas. Estas formas caen en dos ramas basadas en sus discriminantes: $-16p$ y $-p$ (esta última ocurriendo solo cuando $p \equiv 3 \pmod 4$).
4. Teoría de Clases y Chebotarev: Los autores utilizan la parametrización de Xiao–Zhou–Deng–Qu para mapear las clases supersingulares a órbitas inversas de clases de formas. Luego aplican el Teorema de Densidad de Chebotarev en los correspondientes cuerpos de clase de orden para construir discriminantes admisibles específicos (primos y semiprimos) que aíslen coordenadas supersingulares individuales. Al elegir primos que se dividen de maneras específicas dentro de los grupos de clase de órdenes cuadráticos, demuestran que las filas de paridad de Gross pueden generar cualquier vector base estándar en el espacio $\mathbb{F}_2^{S_p}$.

Contribuciones Clave y Resultados

• El Teorema de Generación de Filas de Gross (Teorema 1.1): El resultado principal demuestra que los vectores de coeficientes de Gross módulo 2, indexados por $S_p$, generan todo el espacio vectorial $\mathbb{F}_2^{S_p}$. Esto se logra construyendo explícitamente filas de Gross que aíslan cada coordenada, tratando los invariantes $j$ excepcionales ($0$y$1728$) por separado y tratando las ramas de discriminante $-16p$ y $-p$ mediante estrategias distintas de selección de primos.
• Resolución de la Conjetura de Paridad de Kazalicki–Kohen (Corolario 1.2): Como consecuencia directa del teorema de generación, los autores demuestran que si una curva elíptica $E/\mathbb{Q}$ tiene conductor primo $p$ y rango de Mordell–Weil positivo, entonces cada coeficiente $c_i$ de su autovector de Brandt para $i \in S_p$ es par. Esto elimina las restricciones previas sobre el discriminante y la existencia de puntos de 2-torsión racional. El artículo señala que esto proporciona un criterio unidireccional: un coeficiente impar en una clase supersingular racional certifica que el rango es cero.
• Divisibilidad del Grado Modular (Corolario 1.3 y Teorema 6.1): Combinando el resultado de paridad con la fórmula de norma de Mestre y la identidad cúbica de Gross–Kudla, los autores demuestran que para cualquier curva elíptica de conductor primo $p$, rango positivo y número de raíz $+1$, el grado modular $m_E$ es divisible por 4.
• Verificación de la Conjetura de Watkins para Rango 2: El resultado confirma la conjetura de Watkins ($2^{\text{rank}} \mid m_E$) para todas las curvas elípticas de conductor primo y rango 2 con número de raíz $+1$.

Significancia
El artículo afirma resolver una conjetura de paridad específica sobre los autovectores de Brandt, proporcionando un certificado algebraico robusto para el rango 0 basado en la paridad de los coeficientes supersingulares. Al establecer la propiedad de generación de los vectores de Gross módulo 2, el trabajo tiende un puente entre la aritmética de curvas supersingulares y las propiedades analíticas de las formas modulares (específicamente la anulación de las funciones $L$ en el punto central). La aplicación a la conjetura de Watkins extiende los casos conocidos de dicha conjetura a todas las curvas de conductor primo de rango 2 con número de raíz $+1$, eliminando restricciones previas de discriminante. La metodología demuestra el poder de reducir problemas de representación ternaria a formas binarias vía simetría de Frobenius y utilizar modelos de órdenes máximos explícitos para controlar las paridades de representación mediante la teoría de clases.