On the closed solution of a problem coupling fluid infiltration with a hydration reaction

Resumen Técnico: Solución Cerrada de un Problema de Acoplamiento de Infiltración de Fluidos e Hidratación

Formulación del Problema
El artículo aborda un problema de frontera móvil unidimensional que describe la infiltración de un fluido reactivo en un medio poroso seco, acoplado con una reacción de hidratación de primer orden. Este modelo está motivado por procesos de remediación ambiental, como la mineralización de CO₂, donde fluidos reactivos se infiltran en masas rocosas del subsuelo, lo que potencialmente conduce a "fracturas impulsadas por la reacción".

El sistema físico asume:

1. Un medio poroso homogéneo con porosidad $\phi$.
2. Un frente de infiltración nítido que separa las regiones saturada y seca (suposición de Green-Ampt).
3. Una reacción de hidratación de primer orden que consume el agua infiltrada.
4. Flujo de Darcy dentro de la región saturada ($0 < x < s(t)$).

Las ecuaciones gobernantes combinan la ley de Darcy, la conservación de la masa y la cinética de reacción. La presión $p(x,t)$ satisface una ecuación de tipo Poisson donde el término fuente representa el consumo de agua por la reacción. El sistema se cierra mediante una condición de tipo Stefan en el frente móvil $s(t)$, que vincula el gradiente de presión con la velocidad del frente, y condiciones de contorno que fijan la presión en el origen y cero en el frente.

Metodología
Los autores derivan una forma adimensional del problema, introduciendo una escala de longitud $\ell^*$ y una escala de tiempo $t^*$ basadas en la permeabilidad, la viscosidad, la carga de presión y la tasa de reacción. El sistema adimensional consiste en hallar la posición de la frontera libre $s(t)$, el campo de presión $p(x,t)$ y la variable de progreso de la reacción $\Gamma(x,t)$.

Para obtener una solución de forma cerrada, los autores emplean un enfoque analítico centrado en una función auxiliar $J(t)$, definida como la integral de la variable de progreso de la reacción sobre el dominio saturado. Al integrar las ecuaciones gobernantes y aplicar el teorema de Fubini, derivan una ecuación diferencial ordinaria (EDO) lineal para $J(t)$. Resolver esta EDO permite la determinación explícita de la posición del frente libre $s(t)$. Una vez conocido $s(t)$, la variable de reacción $\Gamma$ y el campo de presión $p$ se reconstruyen utilizando la inversa de la función estrictamente monótona $s(t)$ y la integración de la ecuación del gradiente de presión.

Contribuciones Clave y Resultados
La contribución principal es la derivación de una solución analítica exacta de forma cerrada para el frente libre $s(t)$ y los campos asociados, válida para todo tiempo $t \geq 0$. La solución es única y estrictamente creciente.

El análisis revela distintos regímenes dinámicos para el frente de infiltración basados en la relación entre la porosidad $\phi$ y el parámetro adimensional de consumo de agua $Y$ (que representa el volumen total de agua consumida por unidad de volumen de medio):

1. Comportamiento de Tiempo Temprano: Para $t \to 0$, la solución exhibe universalmente una dependencia de raíz cuadrada respecto al tiempo ($s(t) \sim \sqrt{t/\phi}$), independientemente de la fuerza de la reacción de hidratación. Esto coincide con el comportamiento de infiltración clásico en ausencia de reacción, ya que el frente avanza más rápido de lo que la reacción puede consumir el agua.
2. Comportamiento de Tiempo Tardío: El comportamiento asintótico cuando $t \to \infty$ depende del signo de $\phi + Y$:
   • Caso $\phi + Y > 0$: El frente avanza con un comportamiento de raíz cuadrada respecto al tiempo ($s(t) \sim \sqrt{t/(\phi+Y)}$), pero con un prefactor modificado determinado tanto por la porosidad como por el consumo de la reacción.
   • Caso $\phi + Y = 0$: El frente avanza linealmente con el tiempo ($s(t) \sim t$).
   • Caso $\phi + Y < 0$: El avance del frente exhibe un crecimiento exponencial.

El artículo demuestra explícitamente un "cruce" (crossover) desde el régimen de raíz cuadrada de tiempo temprano hacia el régimen de tiempo tardío, recuperando analíticamente comportamientos observados previamente solo numéricamente en la literatura [2, 9].

Significancia
El artículo sostiene que esta solución cerrada proporciona una herramienta analítica rigurosa para cuantificar sistemas de transporte y reacción en el subsuelo terrestre. Específicamente:

• Valida y explica las predicciones numéricas de los comportamientos de tiempo temprano y tardío encontradas en estudios previos.
• Ofrece una base matemática precisa para analizar las condiciones bajo las cuales pueden ocurrir fracturas impulsadas por la reacción, vinculando la dinámica del frente con las deformaciones de autocarga (eigenstrains) inducidas por la hinchazón de hidratación.
• Generaliza el problema de Stefan clásico (en el límite de calor específico evanescente) al incorporar el consumo químico, enriqueciendo así la comprensión matemática de los problemas de frontera libre con términos de reacción.

Los autores enfatizan que, si bien la física dicta que $\phi > 0$ y $Y > 0$ (consumo de agua), el análisis matemático se mantiene para un rango más amplio de parámetros, incluyendo casos donde $Y < 0$ (liberación de agua), aunque estos se señalan como escenarios físicamente distintos.