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Integrating Heisenberg uncertainty and maximum entropy principles verses statistical approach to nucleon structure

Este artículo determina los parámetros de la distribución de partones del nucleón utilizando dos enfoques distintos —uno que combina el principio de incertidumbre de Heisenberg y los principios de máxima entropía con las reglas de suma, y otro que emplea un modelo termodinámico estadístico— y demuestra que ambos métodos producen densidades de quarks de valencia y de gluones consistentes con las parametrizaciones existentes para calcular funciones de estructura.

Autores originales: A. Mirjalili, S. Khosravi Kia, S. Atashbar Tehrani

Publicado 2026-08-25

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CC BY 4.0

Autores originales: A. Mirjalili, S. Khosravi Kia, S. Atashbar Tehrani

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En lo más profundo de cada átomo yace un protón, un núcleo diminuto pero poderoso que otorga sustancia a la materia. Durante décadas, los físicos han intentado mapear el paisaje invisible dentro de este núcleo, planteando una pregunta simple pero difícil: ¿cómo se comparte el momento de un protón entre las partículas más pequeñas que lo componen? Estas partículas, llamadas quarks y gluones, no son ladrillos estáticos sino un fluido dinámico y agitado. Para comprender el protón, los científicos deben determinar las "funciones de distribución de partones", que son esencialmente mapas que muestran qué tan probable es encontrar una partícula específica que transporte una fracción específica de la velocidad total del protón. Tradicionalmente, la creación de estos mapas ha dependido en gran medida de ajustar curvas matemáticas a vastas cantidades de datos experimentales provenientes de colisionadores de partículas. Sin embargo, este nuevo estudio intenta un camino diferente, uno que depende menos de ajustar puntos de datos y más de las leyes fundamentales de la naturaleza para predecir cómo deberían comportarse estas partículas antes de que se realice cualquier experimento.

Los investigadores abordaron este problema tratando al protón no solo como una colección de partículas, sino como un sistema gobernado por dos principios poderosos y universales. El primero es el principio de incertidumbre de Heisenberg, una regla de la mecánica cuántica que establece que no podemos conocer simultáneamente la posición exacta y la velocidad exacta de una partícula; cuanto más precisamente conocemos una, menos conocemos la otra. El segundo es el principio de máxima entropía, un concepto de la termodinámica que sugiere que un sistema en equilibrio se asentará naturalmente en el estado de mayor desorden o aleatoriedad, dadas las restricciones que enfrenta. Al combinar estas dos ideas con las reglas estrictas de que el protón debe contener exactamente tres quarks de valencia y que el momento total de todas sus partes debe sumar el todo, el equipo se propuso calcular la estructura interna del protón a partir de primeros principios.

En su primer método, el equipo trató al protón como un espacio confinado donde la incertidumbre en la ubicación de una partícula limita cómo se puede distribuir su momento. Imaginaron el interior del protón como un cilindro para simplificar la geometría del problema, permitiéndoles calcular la incertidcción en la posición basándose en el tamaño conocido del protón. Esta incertidumbre en el espacio se traduce directamente en una incertidumbre en el momento. Al aplicar esta lógica a los quarks up (arriba) y down (abajo) que componen el protón, derivaron un conjunto de ecuaciones que describían cómo es probable que se distribuyan estas partículas. Luego utilizaron el principio de máxima entropía para encontrar la disposición específica que maximiza el desorden mientras sigue obedeciendo las reglas del conteo de partículas y la conservación del momento. Este enfoque les permitió determinar los parámetros desconocidos de las distribuciones de quarks sin necesidad de observar datos experimentales primero. Los resultados, al ser evolucionados a niveles de energía más altos utilizando ecuaciones de física estándar, coincidieron bien con los modelos existentes y las mediciones experimentales de la estructura del protón, particularmente para la relación de quarks down respecto a los up.

Reconociendo que este primer método tenía limitaciones —específicamente, que no podía dar cuenta fácilmente de los gluones, las partículas que transportan la fuerza que mantiene unidos a los quarks— los investigadores desarrollaron un segundo enfoque, más exhaustivo. En esta versión, abandonaron las restricciones geométricas del primer método y, en su lugar, vieron al protón como un sistema estadístico en equilibrio térmico, similar a un gas de partículas. En este esquema, el protón se define por variables termodinámicas: una temperatura, un volumen y potenciales químicos que actúan como niveles de energía para los diferentes tipos de partículas. Utilizando el mismo principio de máxima entropía y las reglas de conteo de partículas y momento, resolvieron estas variables termodinámicas. Esto les permitió generar un conjunto completo de distribuciones para los quarks up, quarks down, anti-quarks y, crucialmente, los gluones. Este modelo estadístico proporcionó una imagen completa del interior del protón, incluyendo la densidad de gluones, anteriormente elusiva.

Los hallazgos de este segundo enfoque resultaron ser aún más robustos. Cuando los investigadores evolucionaron sus distribuciones calculadas a las escalas de alta energía utilizadas en los experimentos modernos, los mapas resultantes del interior del protón se alinearon estrechamente con los modelos más sofisticados utilizados por la comunidad científica global. Fueron capaces de calcular la función estructural del protón, una cantidad clave medida en experimentos donde los neutrinos chocan contra los protones, y sus predicciones coincidieron con los datos experimentales disponibles con alta precisión. Además, la relación de quarks down a up derivada de este modelo estadístico mostró una notable independencia de la escala de energía, una característica que la física teórica predice que debería existir pero que a menudo es difícil de reproducir en otros modelos. El estudio sugiere que, al tratar al protón como un sistema estadístico gobernado por la entropía y la incertidumbre, es posible reconstruir su estructura interna con un alto grado de precisión, ofreciendo una poderosa alternativa a los métodos puramente basados en datos.

En última instancia, este trabajo demuestra que las leyes fundamentales de la termodinámica y la mecánica cuántica contienen suficiente información para revelar la arquitectura oculta del protón. Mientras que el primer método proporcionó una base sólida al vincular la incertidumbre espacial con el momento, el segundo método, al adoptar una descripción estadística completa, logró capturar el papel de los gluones y proporcionar un mapa más completo y confiable del nucleón. Los investigadores concluyen que estos principios ofrecen una vía viable, impulsada por la teoría, para comprender el mundo subatómico, una que complementa los masivos esfuerzos experimentales que se llevan a cabo actualmente. Al demostrar que la estructura interna del protón puede deducirse de los principios de máximo desorden y límites cuánticos, el estudio abre una nueva ventana a la naturaleza de la materia, sugiriendo que la danza caótica de las partículas dentro del protón sigue un orden estadístico y predecible.

Resumen Técnico: Integración de los Principios de Incertidumbre de Heisenberg y de Máxima Entropía frente al Enfoque Estadístico de la Estructura del Nucleón

Planteamiento del Problema
La determinación de las funciones de distribución de partones (PDF) y de las funciones de estructura del nucleón sigue siendo un desafío central en la Cromodinámica Cuántica (QCD). Los métodos convencionales dependen en gran medida del ajuste de funciones parametrizadas a datos experimentales, omitiendo a menudo las correlaciones cuánticas no perturbativas entre los estados iniciales y finales. Aunque existen enfoques estadísticos (por ejemplo, asumiendo distribuciones de Fermi-Dirac o Bose-Einstein), estos suelen requerir una parametrización extensa o no logran determinar las densidades de gluones sin restricciones adicionales. Este artículo aborda el problema de la determinación de los parámetros desconocidos de las densidades de quarks de valencia y de gluones en una escala de energía inicial baja ( $Q_0$ ) utilizando restricciones teóricas en lugar del ajuste experimental directo, con el objetivo de proporcionar una entrada no perturbativa para las ecuaciones de evolución.

Metodología
Los autores proponen y comparan dos enfoques teóricos distintos para extraer las densidades de partones:

Primer Enfoque (Híbrido de Incertidumbre-Entropía):
- Supuestos: Las densidades de valencia se parametrizan de la forma $f(x) = Ax^B(1-x)^C$ .
- Restricciones: Los parámetros desconocidos se determinan satisfaciendo simultáneamente:
  - Reglas de Suma de Número de Quarks: Integrar las densidades de valencia para obtener 2 quarks up y 1 quark down.
  - Regla de Suma de Momento: Integrar las fracciones de momento para que sean iguales a 1 (asumiendo solo quarks de valencia en $Q_0$ ).
  - Principio de Incertidumbre de Heisenberg: Aplicado para estimar las incertidumbres espacial y de momento ( $\sigma_X \sigma_P \geq \hbar/2$ ). Los autores mapean la incertidumbre espacial del protón a una geometría cilíndrica para simplificar los cálculos del espacio de fases, derivando las incertidumbres para la variable de Bjorken- $x$ ( $\sigma_x$ ).
  - Principio de Máxima Entropía: Se maximiza la función de entropía con respecto a los parámetros de la distribución para encontrar la distribución más probable dadas las restricciones.
- Evolución: Las densidades iniciales resultantes se evolucionan a escalas de energía superiores ( $Q^2 = 10, 20, 40 \text{ GeV}^2$ ) utilizando las ecuaciones de evolución DGLAP a Orden de Menor (LO) y a Orden de Menor Siguiente (NLO).
Segundo Enfoque (Termodinámica Estadística Pura):
- Supuestos: El nucleón se modela como un sistema en equilibrio térmico de partones libres (quarks, antiquarks y gluones) dentro de un volumen $V$ a una temperatura $T$ .
- Distribuciones: Se asignan distribuciones estadísticas a los partones: Fermi-Dirac para quarks/antiquarks y Bose-Einstein para gluones. Estas dependen de parámetros termodinámicos: Temperatura ( $T$ ), Volumen ( $V$ ) y potenciales químicos ( $\mu_u, \mu_d$ ).
- Restricciones: Los parámetros desconocidos se determinan mediante:
  - Reglas de Suma de Número de Quarks y de Momento.
  - Principio de Máxima Entropía: Optimizado con respecto a los potenciales químicos.
  - Nota: El principio de incertidumbre de Heisenberg no se utiliza en este enfoque.
- Evolución: Similar al primer enfoque, las densidades estadísticas derivadas se evolucionan utilizando las ecuaciones DGLAP para calcular las funciones de estructura.

Contribuciones Clave

Metodología Dual: El artículo introduce un marco comparativo donde un método híbrido cuántico-estadístico (Enfoque 1) se contrasta con un modelo estadístico termodinámico completo (Enfoque 2).
Extracción de la Densidad de Gluones: Una contribución significativa del segundo enfoque es la determinación exitosa de la función de densidad de gluones. El primer enfoque, que depende de las reglas de suma de solo valencia en $Q_0$ , no pudo determinar las densidades de gluones, lo que condujo a un mayor número de parámetros libres. El enfoque estadístico resuelve esto incluyendo los gluones en el ensamble termodinámico.
Reducción de Parámetros: El enfoque estadístico reduce el número de parámetros desconocidos a cuatro ( $T, V, \mu_u, \mu_d$ ) mientras determina simultáneamente las distribuciones de valencia y de gluones, mientras que el primer enfoque requería seis parámetros solo para las densidades de valencia.
Cálculo de la Función de Estructura: Ambos enfoques se utilizan para calcular la función de estructura $xF_3$ (relevante para la dispersión de neutrinos) y la relación de densidades de valencia ( $d_v/u_v$ ) en diversas escalas de energía.

Resultos

Densidades de Valencia: Ambos enfoques producen densidades de quarks de valencia que, al ser evolucionadas a $Q^2 = 10 \text{ GeV}^2$ , muestran una concordancia satisfactoria con los modelos de parametrización establecidos (CT10 y MSTW08). Los resultados de NLO generalmente muestran una mejor concordancia con estos modelos que los de LO.
Función de Estructura $xF_3$ : Las funciones de estructura $xF_3$ calculadas a $Q^2 \approx 20 \text{ GeV}^2$ se alinean bien con los datos experimentales de CCFR y NuTeV, así como con los modelos CT10 y MSTW08. Los resultados de NLO de ambos enfoques demuestran una buena consistencia con los datos disponibles.
Relación de Valencia ( $d_v/u_v$ ): La relación de las densidades de valencia exhibe una dependencia mínima de la escala de energía, una expectativa teórica que es confirmada por los resultados. El segundo enfoque (estadístico) muestra una consistencia particularmente fuerte con los datos experimentales (WA21, CDHS, HERMES) en el intervalo $0.05 < x < 0.5$ .
Comparación de Enfoques: Los autores encuentran que el segundo enfoque (estadístico) arroja resultados más fiables. Esto se atribuye a su capacidad para incluir densidades de gluones (cruciales para la precisión de NLO) y a su uso de un marco estadístico completo sin depender de la interpretación geométrica del principio de incertidumbre de Heisenberg, que los autores señalan como una aproximación.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo sostiene que determinar los parámetros de las PDF utilizando principios fundamentales (Máxima Entropía, Reglas de Suma y, en el primer caso, Incertidumbre) en lugar de un ajuste puramente empírico ofrece una alternativa teórica valiosa.

Perspectiva Teórica: El trabajo sugiere que los principios estadístico-termodinámicos están bien reflejados en los datos experimentales, particularmente en la región de $x$ intermedia.
Ventaja Metodológica: El segundo enfoque se presenta como superior porque utiliza todas las características estadísticas del sistema de partones, extrae las densidades de gluones (esenciales para los cálculos de NLO) y requiere menos parámetros libres para lograr una concordancia comparable o mejor con los datos.
Limitaciones: Los autores reconocen modestamente limitaciones, incluyendo la negligencia de las masas de los quarks y las interacciones entre partones, así como el uso de una entrada no perturbativa simplificada. Observan que la incertidumbre de momento aumenta ligeramente si el potencial de confinamiento no se modela de manera exhaustiva.
Direcciones Futuras: El artículo sugiere que estos principios podrían extenderse a las PDF polarizadas, las Distribuciones de Partones Generalizadas (GPDF) y las Distribuciones de Partones Dependientes del Momento Transverso (TMDPDF), y que el trabajo futuro podría investigar la función de estructura $F_2$ y refinar las restricciones en las regiones asintóticas ( $x \to 0$ y $x \to 1$ ).

Los autores concluyen que, si bien sus modelos son aproximaciones, los resultados son "totalmente aceptables" y proporcionan un método robusto para comprender aspectos primordiales de la estructura del nucleón sin recurrir a un ajuste experimental extensivo para los parámetros iniciales.

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