Infinitely many solutions to Kirchhoff-Boussinesq-type equations on Riemannian manifolds

Resumen Técnico: Infinitas soluciones para ecuaciones de tipo Kirchhoff-Boussinesq en variedades de Riemann

Planteamiento del Problema
Este artículo investiga la existencia y multiplicidad de soluciones para una clase de ecuaciones de tipo Kirchhoff-Boussinesq definidas en variedades de Riemann cerradas (compactas, sin frontera) $(M, g)$ de dimensión $d$. Los autores generalizan la ecuación estacionaria de Kirchhoff-Boussinesq, estudiada originalmente en dominios euclidianos para modelar la dinámica de placas elásticas curvas que consideran efectos de cizalladura transversal, al entorno de operadores elípticos de orden superior en variedades.

La ecuación principal estudiada es:
$$P_a^m u \pm (\Delta_{g})_p u = f_q(u) + |u|^{r-2}u \quad \text{en } M,$$
donde:

• $P_a^m = \sum_{i=0}^m a_i (-\Delta_g)^i$ es un operador elíptico de orden $2m$ con coeficientes suaves donde $a_0 > 0$ y $a_m > 0$.
• $(\Delta_{g})_p = \text{div}_g(|\nabla \cdot|^{p-2}\nabla \cdot)$ es el $p$-laplaciano.
• $f_q$ es una no linealidad continua de tipo superlineal.
• Los exponentes satisfacen $2 < p < d$ y $p < q < r \leq 2^*_{m,d}$, donde $2^*_{m,d} = \frac{2d}{d-2m}$ es el exponente de Sobolev crítico.

El estudio aborda la falta de compacidad inherente a los problemas que involucran exponentes de Sobolev críticos ($r = 2^*_{m,d}$) mediante la imposición de supuestos de simetría. Específicamente, los autores buscan soluciones $\Gamma$-invariantes, donde $\Gamma$ es un subgrupo cerrado del grupo de isometrías $\text{Isom}(M, g)$, bajo la condición de que la dimensión de las órbitas de $\Gamma$ sea estrictamente menor que la dimensión de la variedad ($\dim \Gamma x < d$).

Metodología
El análisis se basa en métodos variacionales y teoría de puntos críticos, utilizando específicamente el enfoque del variedad de Nehari (Nehari manifold) descrito en [41]. Los pasos metodológicos centrales incluyen:

1. Marco Funcional: El problema se formula en el espacio de Sobolev $H^m_g(M)$. Los autores definen un funcional de energía $I$ cuyos puntos críticos corresponden a soluciones débiles. Establecen que la norma inducida por el operador $P_a^m$, denotada como $\|\cdot\|_a$, es equivalente a la norma de Sobolev estándar.
2. Análisis del Conjunto de Nehari: Los autores analizan el conjunto de Nehari $\mathcal{N} = \{u \in H^m_g(M) \setminus \{0\} : I'(u)u = 0\}$. Demuestran que $\mathcal{N}$ es no vacío, cerrado y está acotado lejos de cero. Un resultado técnico clave (Lema 2.4) demuestra que toda función no nula en el espacio puede proyectarse de manera única sobre $\mathcal{N}$, estableciendo un homeomorfismo entre la esfera unidad en el subespacio simétrico y el conjunto de Nehari.
3. Simetría y Compacidad: Para superar la falta de compacidad asociada con las no linealidades de Sobolev críticas, los autores restringen el problema variacional al subespacio de funciones $\Gamma$-invariantes, $H^m_g(M)^\Gamma$. Invocan un resultado (Lema 3.3) que establece que si la dimensión de la órbita es estrictamente menor que $d$, la incrustación $H^m_g(M)^\Gamma \hookrightarrow L^r_g(M)$ se vuelve compacta incluso en el exponente crítico, siempre que se cumplan condiciones específicas sobre las dimensiones de las órbitas.
4. Condición de Palais-Smale: Los autores verifican la condición de Palais-Smale para el funcional restringido al conjunto de Nehari simétrico. Esto implica estimaciones delicadas utilizando una desigualdad de interpolación de Gagliardo-Nirenberg recién establecida en variedades de Riemann (Teorema 1.5) para controlar los términos de orden inferior provenientes del $p$-laplaciano y del operador $P_a^m$.
5. Teoría de Puntos Críticos: Al aplicar el principio de criticidad simétrica y teoremas de puntos críticos abstractos para funcionales pares en variedades simétricas, los autores deducen la existencia de múltiples puntos críticos.

Contribuciones Clave y Resultados

1. Teorema Principal de Existencia (Teorema 1.1): Bajo el supuesto de que la no linealidad $f_q$ satisface las condiciones estándar de crecimiento superlineal (f1–f4) y que el grupo de simetría $\Gamma$ satisface la condición de dimensión de órbita, el problema admite:

   • Un número infinito de soluciones débiles $\Gamma$-invariantes con niveles de energía crecientes.
     im
   • Una solución de estado fundamental (solución de mínima energía) entre todas las soluciones $\Gamma$-invariantes.
   • Este resultado es válido tanto para el caso subcrítico ($r < 2^*_{m,d}$) como para el crítico ($r = 2^*_{m,d}$), siempre que se cumpla la condición de simetría (1.9) para el caso crítico.

2. Generalización a Órdenes Superiores y Variedades: Los resultados extienden el trabajo previo sobre ecuaciones de Kirchhoff-Boussinesq (típicamente $m=2$ en dominios euclidianos) a operadores de orden superior ($m \geq 2$) y variedades de Riemann cerradas generales. Esto incluye aplicaciones a los operadores GJMS en variedades de Einstein con curvatura escalar positiva (Corolario 1.4).

3. Desigualdad de Interpolación de Gagliardo-Nirenberg (Teorema 1.5): Los autores demuestran una desigualdad de interpolación de Gagliardo-Nirenberg para derivadas covariantes en variedades de Riemann cerradas. Esta desigualdad relaciona la norma $L^{\kappa_1}$ de la $j$-ésima derivada covariante con la norma $L^{\kappa_3}$ de la $m$-ésima derivada y la norma $L^{\kappa_2}$ de la función misma. Esta herramienta es esencial para controlar el término del $p$-laplaciano en las estimaciones de energía.

4. Normas Equivalentes: Como consecuencia de la desigualdad de interpolación y la desigualdad de Gårding, el artículo establece la equivalencia de varias normas en el espacio de Sobolev de orden superior $H^m_g(M)$, incluyendo la norma de Sobolev estándar, la norma inducida por el operador $P_a^m$, y normas que involucran solo la derivada de orden más alto y la norma $L^2$.

Significancia y Limitaciones
El artículo afirma proporcionar un marco unificado para estudiar ecuaciones de tipo Kirchhoff-Boussinesq en variedades, extendiendo el alcance a operadores de orden superior y no linealidades críticas mediante el uso de la simetría. La derivación de la desigualdad de Gagliardo-Nirenberg en variedades de Riemann cerradas generales se presenta como un resultado de interés independiente, llenando un vacío en la literatura donde tales desigualdades se conocían anteriormente solo para espacios euclidianos o subvariedades específicas.

Sin embargo, los autores son modestos respecto a la interpretación geométrica del caso crítico. Observan que, si bien los operadores GJMS tienen un claro significado geomético en la geometría conformal, la ecuación de Kirchhoff-Boussinesq específica con una no linealidad de exponente de Sobolev crítico ($r = 2^*_{m,d}$) puede no poseer un significado geométrico directo en ese contexto.

Además, el artículo destaca una pregunta abierta respecto al exponente $p = 2^*_{1,d}$. Los autores observan que su método depende de que la constante de interpolación $\Upsilon$ sea estrictamente menor que 1 para controlar el término del $p$-laplaciano. Cuando $m=2$ y $p=2^*_{1,d}$, $\Upsilon$ se convierte en 1, lo que provoca que el término de la norma $L^2$ desaparezca en las estimaciones, impidiendo la prueba de la condición de Palais-Smale. En consecuencia, no está claro si $p = 2^*_{1,d}$ constituye un umbral crítico genuino para la compacidad en el entorno de Kirchhoff-Boussinesq, y el artículo no resuelve este asunto.