Smooth Counterexamples to the Eisenbud--Schreyer--Weyman Ulrich Existence Problem

Resumen Técnico: Contraejemplos Suaves al Problema de Existencia de Ulrich de Eisenbud–Schreyer–Weyman

Planteamiento del Problema
El artículo aborda el problema de existencia de Eisenbud–Schreyer–Weyman (ESW), el cual pregunta si toda variedad proyectiva embebida $X \subset \mathbb{P}^N$ posee un haz Ulrich. El autor adopta la formulación esquemática estándar: un haz Ulrich en $X$ es un $\mathcal{O}_X$-módulo coherente con soporte completo que es Ulrich con respecto a la clase hiperplana $\mathcal{O}_X(1)$. En superficies suaves, tales haces son locales libres (fibrados vectoriales).

Si bien Coskun y Huizenga demostraron que para cualquier superficie suave $X$ y divisor ample $H$, el par $(X, mH)$ posee fibrados Ulrich para $m$ suficientemente grande, la pregunta de ESW es más aguda: para una clase muy ample fija $H$ (es decir, una incrustación proyectiva fija), ¿debe existir un objeto Ulrich? El artículo investiga si esta formulación de incrustación fija admite contraejemplos entre superficies proyectivas complejas suaves.

Metodología y Obstrucción Numérica
El núcleo del argumento del artículo se basa en una obstrucción numérica derivada de la desigualdad de Bogomolov–Hodge, la cual se mantiene independientemente del rango de Picard de la superficie.

1. La Desigualdad: Sea $(S, H)$ una superficie polarizada suave. Si $E$ es un fibrado Ulrich de rango-$r$ en $S$, el autor define una clase desplazada $\alpha = c_1(E) - \frac{r}{2}(K_S + 3H)$. Utilizando el teorema de Riemann–Roch, la semiestabilidad, la desigualdad de Bogomolov ($\Delta(E) \ge 0$) y el teorema de índice de Hodge ($\alpha^2 \le 0$), el artículo establece la condición necesaria:
   $$H^2 \ge K_S^2 - 8\chi(\mathcal{O}_S) = \sigma(S)$$
   donde $\sigma(S)$ es la firma topológica de la variedad de cuatro dimensiones subyacente.

   Esta desigualdad refina una observación previa de Beauville (2017). La búsqueda de contraejemplos de Beauville se basaba en la suposición de que el rango de Picard es uno ($\text{rk NS}(S)=1$), lo que fuerza $\alpha \equiv 0$ y arroja la misma desigualdad. El autor demuestra que la hipótesis de rango de Picard uno es innecesaria; el término $\alpha^2 \le 0$ asegura que la desigualdad se cumpla para cualquier rango de Picard. Por lo tanto, cualquier superficie suave polarizada con $H^2 < \sigma(S)$ no puede portar un fibrado Ulrich de cualquier rango.

2. Construcción Geométrica: Para construir superficies que violen esta desigualdad, el autor utiliza coberturas de Hirzebruch–Kummer asociadas a arreglos de líneas en $\mathbb{P}^2$.

   • Sea $\mathcal{A}$ un arreglo de $k$ líneas.
   • Sea $X_n$ la cobertura Kummer de exponente-$n$ de $\mathbb{P}^2$ ramificada sobre $\mathcal{A}$.
   • Sea $Y_n$ la resolución mínima de las singularidades de $X_n$.
   • El autor emplea un mecanismo de álgebra de Rees/Segre para identificar clases muy amplas en $Y_n$. Específicamente, si el ideal singular de $X_n$ está generado por mónomios de grado $\nu$, entonces la clase $H_n = (\nu+1)A_n - E_n$ es muy ample, donde $A_n$ es la tracción de la clase hiperplana y $E_n$ es el divisor excepcional.

Resultados Clave y Contraejemplos
El artículo construye familias explícitas e infinitas de contraejemplos suaves donde $H_n^2 < \sigma(Y_n)$.

1. La Familia de Hesse (Contraejemplo Principal):

   • Basada en el arreglo clásico de Hesse de 12 líneas (9 puntos de orden cuatro, 12 puntos dobles).
   • El ideal singular está generado por mónomios cúbicos ($\nu=3$), lo que produce la clase muy ample $H_n = 4A_n - E_n$.
   • Teorema 1.1: Para $n=3$, la superficie $Y_3$ con polarización $H_3 = 4A_3 - E_3$ satisface:
     $$H_3^2 = 7 \cdot 3^9 < 16 \cdot 3^9 = \sigma(Y_3)$$
     Consecuentemente, $uc(Y_3, H_3) = \infty$; no existe un haz Ulrich para esta incrustación.
   • Teorema 1.2: Esto se extiende a todo $n \ge 3$. Las superficies $Y_n$ son pairwise no isomorfas, y la razón $H_n^2 / \sigma(Y_n) \to 0$ cuando $n \to \infty$.
   • Significancia Geométrica: Para $n=3$, $Y_3$ es un cociente de bola compacto (cumpliendo $K_{Y_3} = 3L$). La polarización $H_3$ se construye moviéndose "fuera del rayo" de la raíz canónica $L = K/3$ vía $H = L - A$. Mientras que $L^2 = \sigma(Y_3)$, la sustracción de la clase nef $A$ reduce la auto-intersección estrictamente por debajo del umbral de la firma mientras preserva la muy amplitud.

2. Familias Compañeras:

   • Arreglo de Hesse Dual: Produce contraejemplos para todo $n \ge 5$ con polarización $H_n = 6A_n - E_n$.
   • Cuadrángulo Completo: Produce contraejemplos para todo $n \ge 6$ con polarización $H_n = 3A_n - E_n$. En $n=5$, esta familia realiza el límite numérico $K^2 = 3H^2 = \sigma$ en un rango de Picard superior.

3. Mecanismo General (Teorema 1.3):
   El artículo establece un criterio general (Teorema 6.1) para cualquier arreglo de líneas que admita un dato de generación de grado-$\nu$. Si los parámetros del arreglo satisfacen condiciones de crecimiento específicas (específicamente $Q_{\mathcal{A}} > 0$), la familia resultante $(Y_n, H_n)$ proporciona contraejemplos para todo $n$ suficientemente grande.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma proporcionar los primeros variedades suaves polarizadas conocidos donde se excluyen los fibrados Ulrich de todos los rangos.

• Resolución de la Pregunta de Incrustación Fija: Los resultados demuestran que la respuesta al problema de ESW es negativa para superficies complejas suaves cuando la incrustación es fija.
• Eliminación de la Restricción de Rango de Picard: El trabajo muestra que la obstrucción numérica $H^2 \ge \sigma(S)$ es independiente del rango, corrigiendo la suposición previa de que los contraejemplos requerían un rango de Picard uno.
• Implicaciones de la Forma de Chow: Por la construcción de ESW, la no existencia de un haz Ulrich implica que la forma de Chow de la superficie incrustada no admite ninguna representación determinante lineal que surja de un haz Ulrich.
• Fenómeno Sistemático: Los contraejemplos no son anomalías aisladas sino parte de familias infinitas de superficies no isomorfas. La violación del umbral de Ulrich se vuelve arbitrariamente grande en términos relativos porque la firma $\sigma(Y_n)$ crece cuadráticamente con $n$ (específicamente como $n^{k-1}$ en el término principal de la fórmula normalizada), mientras que el cuadrado de la polarización $H_n^2$ crece solo como $n^{k-3}$.

El artículo concluye que, si bien la existencia asintótica se mantiene para $(X, mH)$, la geometría específica del cociente de bola de Hesse y sus parientes de Kummer proporciona una obstrucción robusta a la existencia de haces Ulrich para polarizaciones muy amplias fijas.